matematikk.net

Trenger hjelp til denne også:
gitt
[tex]f=x^6-2 \in \mathbb{Q}[x][/tex]

[tex]let\,\,L \subset \mathbb{C}\,\,be \,\,a\,\,splitting\,\,field\,\,of\,\,f[/tex]

vis at:

[tex][L:\mathbb{Q}] = 12[/tex]

Hint: $L$ må inneholde alle komplekse røtter til $x^6-2$. Spesifikt må $L$ inneholde $\mathbb{Q}$, $\sqrt[6]{2}$ samt en primitiv sjette enhetsrot $\xi$, så $L=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},\xi)$. Nå gjenstår bare å finne graden til $L$ over $\mathbb{Q}$. Måten å gjøre det på er å kalkulere de minimale polynomene til $\sqrt[6]{2}$ og $\xi$ over $\mathbb{Q}$.

Gustav skrev:Hint: $L$ må inneholde alle komplekse røtter til $x^6-2$. Spesifikt må $L$ inneholde $\mathbb{Q}$, $\sqrt[6]{2}$ samt en primitiv sjette enhetsrot $\xi$, så $L=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},\xi)$. Nå gjenstår bare å finne graden til $L$ over $\mathbb{Q}$. Måten å gjøre det på er å kalkulere de minimale polynomene til $\sqrt[6]{2}$ og $\xi$ over $\mathbb{Q}$.

takker, kladda litt og trur jg fant ut:
6. enhetsrot:
[tex]z_1=exp(i*\pi/3)=\frac{1}{2}+i\sqrt{3}/2[/tex]

DVs
[tex]L=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},i\sqrt{3})[/tex]
og
[tex]K=\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})[/tex]
):
[tex]L=K(i\sqrt{3})[/tex]
altså:
[tex][L: \mathbb{Q}]=[K(i\sqrt{3}):K][\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2}): \mathbb{Q}]=2*6=12[/tex]