matematikk.net

Heihei Kunne trengt litt hjelp med en oppgave om noen har tid

Posisjonen til en ladet partikkel i et konstant magnetfelt blir beskrevet ved hjelp av

r(t) = (x(t), y(t), z(t)), der t er tiden.
På grunn av magnetfeltet tilfredstiller partikkelens posisjon initialverdiproblemet:
r (prikkderivert) = (2/Pi)i + 8i X r, t > 0 (x er lik kryssprodukt)
r(0) = (3,5,0)
i = (1,0,0)

Hvor er partikkelen etter Pi tidsenheter?

Ingen som har noen forslag?

Siri96 skrev:Heihei Kunne trengt litt hjelp med en oppgave om noen har tid

Posisjonen til en ladet partikkel i et konstant magnetfelt blir beskrevet ved hjelp av

r(t) = (x(t), y(t), z(t)), der t er tiden.
På grunn av magnetfeltet tilfredstiller partikkelens posisjon initialverdiproblemet:
r (prikkderivert) = (2/Pi)i + 8i X r, t > 0 (x er lik kryssprodukt)
r(0) = (3,5,0)
i = (1,0,0)

Hvor er partikkelen etter Pi tidsenheter?

Vi har $$\dot{\mathbf{r}}(t) = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} + 8\mathbf{i}\wedge\mathbf{r} = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} +8\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ x(t) & y(t) & z(t) \end{vmatrix} = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} - 8z(t)\mathbf{j} + 8y(t)\mathbf{k}.$$

Ser vi på koordinatene hver for seg, får vi altså et system med differensiallikninger: $$\begin{cases} \dot{x}(t) & = \frac{2}{\pi} \\ \dot{y}(t) & = -8z(t) \\ \dot{z}(t) & = 8y(t),\end{cases}$$ med initialbetingelsen $\mathbf{r}(0) = \left(x(0),y(0),z(0)\right) = (3,5,0).$ Klarer du resten selv nå?

Nei Har prøvd masse rart, men tror nok det er på tide at jeg innrømmer for meg selv at jeg er screwed når det gjelder matte eksamen Men tusen takk

Fra $\dot{x}(t) = \frac{2}{\pi}$ integrerer vi og ser at $x(t) = \frac{2}{\pi}t + a,$ der $a\in\mathbb{R}$ er en konstant. Dersom vi deriverer likning nummer 2 og bruker likning 3 i systemet vårt får vi at $$\ddot{y}(t) = -8\dot{z}(t) = -8^2y(t).$$ Denne differensiallikningen har $r^2 + 8^2 = (r+8i)(r-8i)$ som sitt karakteristiske polynom, så vi får at $$y(t) = b\cos(8t) + c\sin(8t),$$ der $b,c\in\mathbb{R}$ er konstanter. Til slutt har vi at $$z(t) = -\frac18\dot{y}(t) = -\frac18\left(-8b\sin(8t) + 8c\cos(8t)\right) = b\sin(8t) - c\cos(8t).$$ Vi har initialbetingelsen $\mathbf{r}(0) = (3,5,0)$, som gir $a=3, b=5$ og $c=0$. Dermed er partikkelens posisjonsvektor etter $\pi$ tidsenheter gitt ved $$\mathbf{r}(\pi) = \left(\frac{2}{\pi}\cdot\pi + 3, 5\cos(8\pi),5\sin(8\pi)\right) = \left(5,5,0\right).$$