Finnes det en funksjon slik at...
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
Har sett dette i abelfinaleoppgaver og lurte på hva det betyr i tillegg til hva oppgaven spør om.
Akkurat denne oppgaven ligger på brilliant.org
$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ betyr at $f$ er en funksjon som tar et reelt tall som argument, og gir et reelt tall som verdi. Eksempelvis $f(x) = x^3$ definert over $\mathbb R$.
Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Når det gjelder selve oppgaven, så kommer jeg ikke på noe i farta.
Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Når det gjelder selve oppgaven, så kommer jeg ikke på noe i farta.
Har ikke peiling på det med bevis, men tenker noe slikt:
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.
Mangler kanskje en god del matematikk, men tenker at det må være sånn. Er heller ikke så stødig på slik matematikk, og kan bare det jeg har sett og lært på YouTube
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.
Mangler kanskje en god del matematikk, men tenker at det må være sånn. Er heller ikke så stødig på slik matematikk, og kan bare det jeg har sett og lært på YouTube
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Du er inne på noe, men må formalisere argumentet ditt. Anta at en slik $f$ finnes. Ettersom verdimengden til $f$ er diskret vet vi at dens absoluttverdi $|f|$ har en minimumsverdi, si $|f(a_0)|$. Merk deg at ettersom $|f(a) - f(b)| \geq 1$ for alle $a, b\in\mathbb{R}$, er $f$ injektiv, så $|f|$ er i verstefall $2 - 1$. Dette betyr spesielt at det finnes maks $2$ forskjellige punkter i $\mathbb{R}$ som sendes til $|f(a_0)|$ av $|f|$. Hvis det finnes et annet slik punkt, kaller vi det $b_0$. Hvis ikke, setter vi $b_0 = \emptyset$. Verdimengden til restriksjonen $f\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ (hvor $\{a_0, b_0\}$ regnes som $\{a_0\}$ dersom $b_0 = \emptyset$) er også diskret, hvilket begyr at også restriksjonen $|f|\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ har en minimumsverdi, si $|f(a_1)|$. Som før kan det finnes en $b_1\in\mathbb{R}$ slik at $|f(b_1)| = |f(a_1)|$. Hvis ikke, setter vi $b_1 = \emptyset$. Dette gir oss en rekursiv oppregning $a_0, b_0, a_1, b_1, \dots , a_n, b_n, \dots$ av $\mathbb{R},$ hvilket er en selvmotsigelse, siden $\mathbb{R}$ er ikke-tellbar.Myron skrev:Har ikke peiling på det med bevis, men tenker noe slikt:
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.
Betyr det at alle funksjoner $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb N$ også kan riktig skrives, dog mindre nøyaktig, som $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$?DennisChristensen skrev:Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Javisst. Kan anbefale å ta en titt her: https://en.m.wikipedia.org/wiki/CodomainAleks855 skrev:Betyr det at alle funksjoner $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb N$ også kan riktig skrives, dog mindre nøyaktig, som $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$?DennisChristensen skrev:Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Alternativt:
Anta at en slik funksjon $f$ fins, og betrakt (med litt misbruk av notasjon) funksjonene $f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})$ og $g:f(\mathbb{R})\to g(f(\mathbb{R}))\subseteq \mathbb{Z}$ gitt ved at $g(x)=\lfloor x\rfloor $. Siden både $f$ og $g$ er bijeksjoner, er komposisjonen $g\circ f$ en bijeksjon fra $\mathbb{R}$ til en delmengde av $\mathbb{Z}$, som gir en motsigelse siden bijeksjoner bevarer kardinalitet.
Anta at en slik funksjon $f$ fins, og betrakt (med litt misbruk av notasjon) funksjonene $f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})$ og $g:f(\mathbb{R})\to g(f(\mathbb{R}))\subseteq \mathbb{Z}$ gitt ved at $g(x)=\lfloor x\rfloor $. Siden både $f$ og $g$ er bijeksjoner, er komposisjonen $g\circ f$ en bijeksjon fra $\mathbb{R}$ til en delmengde av $\mathbb{Z}$, som gir en motsigelse siden bijeksjoner bevarer kardinalitet.
Det meste av notasjonen som er brukt i denne tråden er vel forklart her https://en.wikipedia.org/wiki/Function_ ... )#NotationMyron skrev:Vet dere om en plass hvor man kan finne hva alle disse matematiske begrepene og symbolene står for? For å være helt ærlig så forstod jeg en veldig begrenset mengde av bevisene