Finnes det en funksjon slik at...

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Myron
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 02/03-2018 22:08

Matte 6.png
Matte 6.png (7.18 kiB) Vist 2714 ganger
Vet ikke om dette er rett plass å spørre, men lurte på hva oppgaven spør om.
[tex]\huge f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
Har sett dette i abelfinaleoppgaver og lurte på hva det betyr i tillegg til hva oppgaven spør om.

Akkurat denne oppgaven ligger på brilliant.org
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ betyr at $f$ er en funksjon som tar et reelt tall som argument, og gir et reelt tall som verdi. Eksempelvis $f(x) = x^3$ definert over $\mathbb R$.

Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.

Når det gjelder selve oppgaven, så kommer jeg ikke på noe i farta.
Bilde
Myron
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 02/03-2018 22:08

Har ikke peiling på det med bevis, men tenker noe slikt:
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.

Mangler kanskje en god del matematikk, men tenker at det må være sånn. Er heller ikke så stødig på slik matematikk, og kan bare det jeg har sett og lært på YouTube :)
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.
Myron skrev:Har ikke peiling på det med bevis, men tenker noe slikt:
Siden et set med alle reelle tall er større enn et set med alle naturlige tall, så vil ikke en slik funksjon gå. (Heter kanskje mengde på norsk?)
Tenker at hvis [tex]f(a)=1, f(b)=2[/tex] og [tex]f(c)=3...[/tex]osv, så gir funksjonen et naturlig tall for hvert reelt tall, men siden det er flere reelle tall enn naturlige tall så kan ikke funksjonen eksistere? Det kan også være [tex]f(a)=a, f(b)=a+1[/tex] og [tex]f(c)=a+2...[/tex] der a er et reelt tall.
Du er inne på noe, men må formalisere argumentet ditt. Anta at en slik $f$ finnes. Ettersom verdimengden til $f$ er diskret vet vi at dens absoluttverdi $|f|$ har en minimumsverdi, si $|f(a_0)|$. Merk deg at ettersom $|f(a) - f(b)| \geq 1$ for alle $a, b\in\mathbb{R}$, er $f$ injektiv, så $|f|$ er i verstefall $2 - 1$. Dette betyr spesielt at det finnes maks $2$ forskjellige punkter i $\mathbb{R}$ som sendes til $|f(a_0)|$ av $|f|$. Hvis det finnes et annet slik punkt, kaller vi det $b_0$. Hvis ikke, setter vi $b_0 = \emptyset$. Verdimengden til restriksjonen $f\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ (hvor $\{a_0, b_0\}$ regnes som $\{a_0\}$ dersom $b_0 = \emptyset$) er også diskret, hvilket begyr at også restriksjonen $|f|\upharpoonright_{\mathbb{R}\setminus\{a_0, b_0\}}$ har en minimumsverdi, si $|f(a_1)|$. Som før kan det finnes en $b_1\in\mathbb{R}$ slik at $|f(b_1)| = |f(a_1)|$. Hvis ikke, setter vi $b_1 = \emptyset$. Dette gir oss en rekursiv oppregning $a_0, b_0, a_1, b_1, \dots , a_n, b_n, \dots$ av $\mathbb{R},$ hvilket er en selvmotsigelse, siden $\mathbb{R}$ er ikke-tellbar.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

DennisChristensen skrev:
Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.
Betyr det at alle funksjoner $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb N$ også kan riktig skrives, dog mindre nøyaktig, som $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$?
Bilde
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Aleks855 skrev:
DennisChristensen skrev:
Aleks855 skrev: Jeg er LITT usikker på om notasjonen endres dersom vi for eksempel har $f(x) = x^2$. Skal det da vises i denne notasjonen at verdimengden kun er $f(x) \geq 0$? Noen av de mer rutinerte gjengangerne her må nesten bekrefte/avkrefte dette.
Man trenger ikke endre noe. Notasjonen $f: A\rightarrow B$ betyr at $B$ er verdiområdet til $f$, men ikke nødvendigvis verdimengden. Det vil si, $f(a) \in B \text{ }\forall a\in A$, men det er ingen garanti for at $\forall b\in B \text{ }\exists a\in A$ slik at $f(a) = b$.
Betyr det at alle funksjoner $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb N$ også kan riktig skrives, dog mindre nøyaktig, som $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$?
Javisst. Kan anbefale å ta en titt her: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Codomain
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Alternativt:

Anta at en slik funksjon $f$ fins, og betrakt (med litt misbruk av notasjon) funksjonene $f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})$ og $g:f(\mathbb{R})\to g(f(\mathbb{R}))\subseteq \mathbb{Z}$ gitt ved at $g(x)=\lfloor x\rfloor $. Siden både $f$ og $g$ er bijeksjoner, er komposisjonen $g\circ f$ en bijeksjon fra $\mathbb{R}$ til en delmengde av $\mathbb{Z}$, som gir en motsigelse siden bijeksjoner bevarer kardinalitet.
Myron
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 02/03-2018 22:08

Vet dere om en plass hvor man kan finne hva alle disse matematiske begrepene og symbolene står for? For å være helt ærlig så forstod jeg en veldig begrenset mengde av bevisene :(
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Myron skrev:Vet dere om en plass hvor man kan finne hva alle disse matematiske begrepene og symbolene står for? For å være helt ærlig så forstod jeg en veldig begrenset mengde av bevisene :(
Det meste av notasjonen som er brukt i denne tråden er vel forklart her https://en.wikipedia.org/wiki/Function_ ... )#Notation
Svar