Hvordan skal man finne ut om rekkene konvergerer eller divergerer?
Kan noen vær så snill vise utregningen?
https://i.imgur.com/QcfUaSv.png
Crazy rekker
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Hei,
Hvordan skal man finne ut om rekkene konvergerer eller divergerer?
Kan noen vær så snill vise utregningen?
https://i.imgur.com/QcfUaSv.png
Hvordan skal man finne ut om rekkene konvergerer eller divergerer?
Kan noen vær så snill vise utregningen?
https://i.imgur.com/QcfUaSv.png
$\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$a) Av forholdstesten har vi at hvis $L = \lim_{n\to \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} < 1$, konvergerer rekken.
$$\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{(n+1) \cdot 2^{n+1} \cdot e^{-n-1}}{n\cdot 2^n \cdot e^{-n}}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{(n+1) \cdot 2 \cdot e^{-1}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2n+2}{e \cdot n}} = \frac{2}{e} < 1 \\ \therefore \text{Rekken konvergerer}$$
b) En rekke på formen $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ kalles en $p$-rekke. En slik rekke konvergerer hvis $p>1$, og divergerer for alle andre tilfeller.
c) Denne kan du prøve selv. Et fint sted å starte hvis du er helt blank kan være å lese om Leibniz-kriteriet for alterende rekker.
$$\lim_{n \to \infty} \abs{\frac{(n+1) \cdot 2^{n+1} \cdot e^{-n-1}}{n\cdot 2^n \cdot e^{-n}}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{(n+1) \cdot 2 \cdot e^{-1}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{2n+2}{e \cdot n}} = \frac{2}{e} < 1 \\ \therefore \text{Rekken konvergerer}$$
b) En rekke på formen $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ kalles en $p$-rekke. En slik rekke konvergerer hvis $p>1$, og divergerer for alle andre tilfeller.
c) Denne kan du prøve selv. Et fint sted å starte hvis du er helt blank kan være å lese om Leibniz-kriteriet for alterende rekker.