Gradient

[bac]

Finn $\nabla (\lvert \mathbf{x} \rvert^n)$ gitt følgende definisjon av $\nabla f$ ("find, from first principles"):
\[ f(\mathbf{x}+\mathbf{h})=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})\cdot \mathbf{h}+o(\mathbf{h}). \]
Så i oppgaven er funksjonen $f$ definert som $f(\mathbf{x})=\lvert \mathbf{x}\rvert^n$ for alle vektorer $\mathbf{x}$: For like $n$ så bruker jeg binomialformelen på
\[ f(\mathbf{x}+\mathbf{h})=((\mathbf{x}+\mathbf{h})\cdot (\mathbf{x}+\mathbf{h}))^{\frac{n}{2}}=(\mathbf{x}^2+2\mathbf{x}\cdot \mathbf{h}+o(\mathbf{h}))^\frac{n}{2}.\]
Hva kan jeg gjøre for odde $n$? (Litt usikker på om jeg kan bruke binomialformelen der også.)

[DennisChristensen]

Finn $\nabla (\lvert \mathbf{x} \rvert^n)$ gitt følgende definisjon av $\nabla f$ ("find, from first principles"):
\[ f(\mathbf{x}+\mathbf{h})=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})\cdot \mathbf{h}+o(\mathbf{h}). \]
Så i oppgaven er funksjonen $f$ definert som $f(\mathbf{x})=\lvert \mathbf{x}\rvert^n$ for alle vektorer $\mathbf{x}$: For like $n$ så bruker jeg binomialformelen på
\[ f(\mathbf{x}+\mathbf{h})=((\mathbf{x}+\mathbf{h})\cdot (\mathbf{x}+\mathbf{h}))^{\frac{n}{2}}=(\mathbf{x}^2+2\mathbf{x}\cdot \mathbf{h}+o(\mathbf{h}))^\frac{n}{2}.\]
Hva kan jeg gjøre for odde $n$? (Litt usikker på om jeg kan bruke binomialformelen der også.)

Bruk Newtons generelle binomialformel: $$\left(\textbf{x}^2 + 2\textbf{x}\cdot\textbf{h} + o(\textbf{h})\right)^{\frac{n}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n}{2}\choose k}|\textbf{x}|^{n - 2k}\left(2\textbf{x}\cdot\textbf{h} + o(\textbf{h})\right)^k = |\textbf{x}|^n + \frac{n}{2}|\textbf{x}|^{n-2}\left(2\textbf{x}\cdot\textbf{h} + o(\textbf{h})\right) + o(\textbf{h}),$$ så $\nabla f(\textbf{x}) = n|\textbf{x}|^{n-2}\textbf{x} = n|\textbf{x}|^{n-1}\textbf{r},$ der $\textbf{r}$ er retningsvektoren $\frac{1}{|\textbf{x}|}\textbf{x}.$ Du kan nå sjekke at du får samme svar dersom du bruker kjerneregelen og deriverer koordinatene hver for seg.