Gradientvektor og likning til tangentplan

[katten97]

Gitt at

f(x,y) = x^2 - x^2 - y + 3

Jeg skal finne gradientvektoren til f i punktet P = (1,2,f(1,2)) og finne likningen til tangentplanet til grafen f i punktet P.

Jeg har funnet ut at f'x = 2xy - 2x og f'y = x^2 - 1. Gradientvektoren i P er [2,0].

I fasiten står det:

L(x,y) = 2 + 2(x - 1) + 0(y - 0) og at tangentplanet vil være gitt ved z = 2 + 2(x - 1) = 2x.

Jeg har prøvd å regne dette ut ved L(x) = f(a) + f'(a) * (x-a), men da får jeg ikke tallene til å stemme overens med fasiten.
Kan noen forklare meg hvordan jeg kan løse denne oppgaven?

[DennisChristensen]

Gitt at

f(x,y) = x^2 - x^2 - y + 3

Jeg skal finne gradientvektoren til f i punktet P = (1,2,f(1,2)) og finne likningen til tangentplanet til grafen f i punktet P.

Jeg har funnet ut at f'x = 2xy - 2x og f'y = x^2 - 1. Gradientvektoren i P er [2,0].

I fasiten står det:

L(x,y) = 2 + 2(x - 1) + 0(y - 0) og at tangentplanet vil være gitt ved z = 2 + 2(x - 1) = 2x.

Jeg har prøvd å regne dette ut ved L(x) = f(a) + f'(a) * (x-a), men da får jeg ikke tallene til å stemme overens med fasiten.
Kan noen forklare meg hvordan jeg kan løse denne oppgaven?

Jeg regner med du mente å skrive $x^2y -x^2 - y + 3$ istedenfor $x^2 - x^2 - y + 3.$ Nå, grafen vår er gitt ved $$z = f(x,y) = x^2y - x^2 - y + 3.$$ Skriv $F(x,y,z) = f(x,y) - z,$ så flaten er definert ved likningen $F(x,y,z) = 0$. Da får vi gradientvektoren $$\nabla F = \left[\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right] = [2xy - 2x, x^2 - 1, -1],$$ så gradientvektoren i punktet $p$ er $\nabla F(p) = \left[2, 0,-1\right].$ Vi vet at $\nabla F(p)$ står normalt på tangentplanet til flaten, så vi får følgende likning for tangentplanet: $$\nabla F(p)\cdot\left[x-1,y-2,z-f(1,2)\right] = 0$$ $$\left[2,0,-1\right]\cdot\left[x-1,y-2,z-2\right] = 0$$ $$2(x-1) - (z-2) = 0$$ $$2x - z = 0$$ $$2x = z.$$