Hei,
Har en oppgave der man skal vise at B er en basis for W. Hvordan viser man det?
La V = C(R) være vektorrommet av kontinuerlige funksjoner
på R. La W = Span{1,sin x, cos x,sin 2x, cos 2x} ⊂ V.
(a) Vis at B = {1,sin x, cos x,sin 2x, cos 2x} er en basis for W
Vis at ...
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La $\mathcal{B} = \{1,\sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$ og $W = \text{span } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$. $\mathcal{B}$ er da en basis til $W$ hvis $\text{span } \mathcal{B} = W$ og hvis alle vektorene i $\mathcal{B}$ er lineært uavhengige. Her referer vektor til funksjonene i $\mathcal{B}$
For å vise at alle vektorene i $\mathcal{B}$ er lineært uavhengige, må vi vise at likningen $$a\cdot1 + b \cdot \sin x + c \cdot \cos x + d \cdot \sin 2x + e \cdot \cos 2x = 0$$ der $a,b,c,d,e$ er skalarer, ikke har noen annen løsningen enn den trivielle ($a=b=c=d=e=0$). Siden $\mathcal{B}$ har så mange trigonometriske funksjoner, setter vi inn noen verdier og oppnår $$x=0 \enspace : \enspace a+c+e=0 \\ x=\frac\pi2 \enspace : \enspace a+b-e=0 \\ x= \pi \enspace : \enspace a-c+e=0 \\ x= \frac{3\pi}{2} \enspace : \enspace a-b-e=0 \\ x=\frac{\pi}{4} \enspace : \enspace a+\frac{1}{\sqrt{2}} \left (b+c \right )+d=0$$ Ved å løse likningssettet oppnår man eneste løsning $a=b=c=d=e=0$, som vi ønsket, altså er vektorene i $\mathcal{B}$ lineært uavhengige. Det gjenstår nå bare å vise at $\text{span } \mathcal{B} = W$, men siden $W$ er definert som $W = \text{span } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$ og $\mathcal{B} = \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$ følger det av definisjonen på $W$ at $\text{span } \mathcal{B} = W$. Dette fullfører beviset.
For å vise at alle vektorene i $\mathcal{B}$ er lineært uavhengige, må vi vise at likningen $$a\cdot1 + b \cdot \sin x + c \cdot \cos x + d \cdot \sin 2x + e \cdot \cos 2x = 0$$ der $a,b,c,d,e$ er skalarer, ikke har noen annen løsningen enn den trivielle ($a=b=c=d=e=0$). Siden $\mathcal{B}$ har så mange trigonometriske funksjoner, setter vi inn noen verdier og oppnår $$x=0 \enspace : \enspace a+c+e=0 \\ x=\frac\pi2 \enspace : \enspace a+b-e=0 \\ x= \pi \enspace : \enspace a-c+e=0 \\ x= \frac{3\pi}{2} \enspace : \enspace a-b-e=0 \\ x=\frac{\pi}{4} \enspace : \enspace a+\frac{1}{\sqrt{2}} \left (b+c \right )+d=0$$ Ved å løse likningssettet oppnår man eneste løsning $a=b=c=d=e=0$, som vi ønsket, altså er vektorene i $\mathcal{B}$ lineært uavhengige. Det gjenstår nå bare å vise at $\text{span } \mathcal{B} = W$, men siden $W$ er definert som $W = \text{span } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$ og $\mathcal{B} = \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x \}$ følger det av definisjonen på $W$ at $\text{span } \mathcal{B} = W$. Dette fullfører beviset.