Hei,
Noen genier der ute som kan hjelpe til med å vise forstå hvordan man går fram her?
https://i.imgur.com/F8aRg0y.png
Vektorer og avbildninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
a) er allerede besvart av Markus i en annen tråd.
b) $T$ er lineær dersom $T(f+g)=T(f)+T(g)$ for alle $f,g\in W$ og $T(cf)=cT(f)$ for skalarer $c$. Hint: Bruk regneregler for matriser.
c) Ker(T) består av alle $f\in W$ slik at $T(f)=\vec{0}$. Det er nok å kreve at $f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0$, siden da følger automatisk at $2f(0)-f(\frac{\pi}{2})=0$. For å finne range(T) er det nok å la $f$ være en lineærkombinasjon av basisvektorene til W, og så beregne komponentene i $T(f)$, og omskrive vektoren til en lineærkombinasjon av vektorer i $\mathbb{R}^3$
d) Bruk at $\cos 2x = 2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$. Dermed er $\cos^2 x=\frac12\cos 2x+\frac12$, som er en lineærkombinasjon av basisvektorene i $W$, ergo et element i $W$. Samme metode gjelder for $sin^2 x$
e) Sett $f''+4f=0$ og løs diff.ligningen. (lineær homogen andreordens med konstante koeffisienter)
f) Her holder det å vise at enhver basisvektor i W kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av vektorer i $\mathcal{C}$. Siden antallet vektorer i $\mathcal{C}$ er det samme som i W, må nødvendigvis vektorene i $\mathcal{C}$ være lineær uavhengige dersom de utspenner samme rom. (Enhver basis for et rom har samme antall basisvektorer).
b) $T$ er lineær dersom $T(f+g)=T(f)+T(g)$ for alle $f,g\in W$ og $T(cf)=cT(f)$ for skalarer $c$. Hint: Bruk regneregler for matriser.
c) Ker(T) består av alle $f\in W$ slik at $T(f)=\vec{0}$. Det er nok å kreve at $f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0$, siden da følger automatisk at $2f(0)-f(\frac{\pi}{2})=0$. For å finne range(T) er det nok å la $f$ være en lineærkombinasjon av basisvektorene til W, og så beregne komponentene i $T(f)$, og omskrive vektoren til en lineærkombinasjon av vektorer i $\mathbb{R}^3$
d) Bruk at $\cos 2x = 2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$. Dermed er $\cos^2 x=\frac12\cos 2x+\frac12$, som er en lineærkombinasjon av basisvektorene i $W$, ergo et element i $W$. Samme metode gjelder for $sin^2 x$
e) Sett $f''+4f=0$ og løs diff.ligningen. (lineær homogen andreordens med konstante koeffisienter)
f) Her holder det å vise at enhver basisvektor i W kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av vektorer i $\mathcal{C}$. Siden antallet vektorer i $\mathcal{C}$ er det samme som i W, må nødvendigvis vektorene i $\mathcal{C}$ være lineær uavhengige dersom de utspenner samme rom. (Enhver basis for et rom har samme antall basisvektorer).