Kurver

[Anonymbruker]

En lukket kurve C har i polarkoordinater ligning
r = 1 − cos 2theta, 0 ≤ theta ≤ 2pi
regn ut arealet av området som ligger innenfor C, men utenfor sirkelen r = 1.

Har tegnet opp figuren og regnet dette ut. Kan det stemme at man kan ta grensene fra pi/4 til pi/2 og så regne ut den ene halvdelen. Ganger dette med to og trekker i fra sirkelen fra pi/4 til 3pi/4 ?

[DennisChristensen]

En lukket kurve C har i polarkoordinater ligning
r = 1 − cos 2theta, 0 ≤ theta ≤ 2pi
regn ut arealet av området som ligger innenfor C, men utenfor sirkelen r = 1.

Har tegnet opp figuren og regnet dette ut. Kan det stemme at man kan ta grensene fra pi/4 til pi/2 og så regne ut den ene halvdelen. Ganger dette med to og trekker i fra sirkelen fra pi/4 til 3pi/4 ?

På grunn av horisontal symmetri kan vi regne ut arealet av området hvor $y>0$, for så å multiplisere med $2$. I dette området møtes kurven og sirkelen i punktene $(r,\theta) = (1,\frac{\pi}{4})$ og $(r,\theta) = (1,\frac{3\pi}{4})$, slik du har registrert. Dermed får vi arealet $$A = 2\int_{\theta = \frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{r=1}^{1-cos 2\theta} r dr d\theta.$$

[Anonymbruker]

En lukket kurve C har i polarkoordinater ligning
r = 1 − cos 2theta, 0 ≤ theta ≤ 2pi
regn ut arealet av området som ligger innenfor C, men utenfor sirkelen r = 1.

Har tegnet opp figuren og regnet dette ut. Kan det stemme at man kan ta grensene fra pi/4 til pi/2 og så regne ut den ene halvdelen. Ganger dette med to og trekker i fra sirkelen fra pi/4 til 3pi/4 ?

På grunn av horisontal symmetri kan vi regne ut arealet av området hvor $y>0$, for så å multiplisere med $2$. I dette området møtes kurven og sirkelen i punktene $(r,\theta) = (1,\frac{\pi}{4})$ og $(r,\theta) = (1,\frac{3\pi}{4})$, slik du har registrert. Dermed får vi arealet $$A = 2\int_{\theta = \frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{r=1}^{1-cos 2\theta} r dr d\theta.$$

Tusen takk for svar! Ville jeg gått frem på samme måte dersom jeg har kun formelen
A = $\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2 d\theta$ til rådighet?

[Anonymbruker]

Oppgaven lot seg løse