- 27496092_10204153733481759_870381426_n.jpg (77.58 kiB) Vist 1562 ganger
Avgjør om grenseverdien eksisterer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei. Jobber med oppgave 3. Jeg vet at man først finner hva x går mot, for så å finne hva y går mot. Hvis de får like verdier, eksisterer grenseverdien, hvis ikke så eksisterer det ikke. y var greit å finne, men sliter litt med å finne x. Noen som har noe tips?
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Du har vist at når vi ankommer origo fra $y-$aksen så får vi grenseverdien $$\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y) = \lim_{y\rightarrow 0} 1 = 1,$$ mens når vi ankommer origo fra $x-$aksen så får vi grenseverdien $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2x\right)-2x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos(2x) - 2}{3x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-4\sin(2x)}{6x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-8\cos(2x)}{6} = -\frac43 \neq 1,$$ der bruken av L'Hôpitals regel er gyldig ettersom grenseverdien eksisterer. Altså konkluderer vi med at $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ er udefinert.TRCD skrev:Hei. Jobber med oppgave 3. Jeg vet at man først finner hva x går mot, for så å finne hva y går mot. Hvis de får like verdier, eksisterer grenseverdien, hvis ikke så eksisterer det ikke. y var greit å finne, men sliter litt med å finne x. Noen som har noe tips?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Jeg vil også legge til at det ikke holder å sjekke om $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)$ for å bekrefte om grenseverdien $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer, gitt en funksjon $f$ i planet. Se på følgende eksempel: La $f(x,y) = -\frac{xy}{x^2 + y^2}.$ Du kan sjekke selv at $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{y\rightarrow 0}f(0,y) = 0,$ men vi kan ikke konkludere med dette at $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer og er lik $0$. Om vi ankommer origo langs linja $y=-x$ ser vi nemlig at $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)\text{ langs }y=-x}f(x,y) = \lim_{x\rightarrow 0}f(x,-x) = \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{x(-x)}{x^2 + (-x)^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{2x^2} = \frac12 \neq 0,$$ så grenseverdien eksisterer ikke.
Takk for detaljert svar DennisDennisChristensen skrev:Du har vist at når vi ankommer origo fra $y-$aksen så får vi grenseverdien $$\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y) = \lim_{y\rightarrow 0} 1 = 1,$$ mens når vi ankommer origo fra $x-$aksen så får vi grenseverdien $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\left(2x\right)-2x}{x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos(2x) - 2}{3x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-4\sin(2x)}{6x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-8\cos(2x)}{6} = -\frac43 \neq 1,$$ der bruken av L'Hôpitals regel er gyldig ettersom grenseverdien eksisterer. Altså konkluderer vi med at $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ er udefinert.TRCD skrev:Hei. Jobber med oppgave 3. Jeg vet at man først finner hva x går mot, for så å finne hva y går mot. Hvis de får like verdier, eksisterer grenseverdien, hvis ikke så eksisterer det ikke. y var greit å finne, men sliter litt med å finne x. Noen som har noe tips?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Jeg vil også legge til at det ikke holder å sjekke om $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)$ for å bekrefte om grenseverdien $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer, gitt en funksjon $f$ i planet. Se på følgende eksempel: La $f(x,y) = -\frac{xy}{x^2 + y^2}.$ Du kan sjekke selv at $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \lim_{y\rightarrow 0}f(0,y) = 0,$ men vi kan ikke konkludere med dette at $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer og er lik $0$. Om vi ankommer origo langs linja $y=-x$ ser vi nemlig at $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)\text{ langs }y=-x}f(x,y) = \lim_{x\rightarrow 0}f(x,-x) = \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{x(-x)}{x^2 + (-x)^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{2x^2} = \frac12 \neq 0,$$ så grenseverdien eksisterer ikke.
