matematikk.net

Hei!

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Gitt punktene A = (-3,3,-4), B = (0,1,-3) og C = (-1,4,a)

Regn ut AB x AC uttrykt ved koordinaten a i punktet C.
Hva må a være for at AB og AC skal stå vinkelrett på hverandre.
Hva blir vinkelen mellom AB og AC når a = -1?

Jeg har prøvd å regne ut AB x AC, men får ikke riktig svar. Svaret skal bli AB = [3,-2,1] og AC = [2,1,a+4].
Jeg skjønner at man tydeligvis må skifte fortegn når man regner ut AB og AC, men jeg forstår ikke hvorfor man gjør det eller hvordan regnestykket da blir. Jeg vet at indreproduktet må være lik 0 for at vektorene skal stå vinkelrett på hverandre, men jeg får ikke til å regne ut a.

katten97 skrev:Hei!

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Gitt punktene A = (-3,3,-4), B = (0,1,-3) og C = (-1,4,a)

Regn ut AB x AC uttrykt ved koordinaten a i punktet C.
Hva må a være for at AB og AC skal stå vinkelrett på hverandre.
Hva blir vinkelen mellom AB og AC når a = -1?

Jeg har prøvd å regne ut AB x AC, men får ikke riktig svar. Svaret skal bli AB = [3,-2,1] og AC = [2,1,a+4].
Jeg skjønner at man tydeligvis må skifte fortegn når man regner ut AB og AC, men jeg forstår ikke hvorfor man gjør det eller hvordan regnestykket da blir. Jeg vet at indreproduktet må være lik 0 for at vektorene skal stå vinkelrett på hverandre, men jeg får ikke til å regne ut a.

[tex]\vec{AB}=(0-(-3),1-3,-3-(-4))=(3,-2,1)[/tex]

[tex]\vec{AC}=(-1-(-3), 4-3, a-(-4))=(2,1,a+4)[/tex]

[tex]\vec{AB} \times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i &j &k \\ 3 &-2 &1 \\ 2 &1 &a+4 \end{vmatrix}=\left ( i\begin{vmatrix} -2 &1 \\ 1 &a+4 \end{vmatrix}, j\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 2 &a+4 \end{vmatrix}, k\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} \right )=(-2a-9,-3a-10,7)[/tex]

For at AB AC skal være vinkelrett

[tex]\vec{AB} \perp \vec{AC} \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AC}=0[/tex]

[tex](3,-2,1)\cdot (2,1,a+4)= 0 \Leftrightarrow 6-2+a+4=0 \Leftrightarrow a+8=0 \Leftrightarrow a=-8[/tex]



Vinkelen mellom vektorene kan finnes ved definisjonen av skalarproduktet

[tex]\mathbf{a\cdot b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|cos(\angle (\mathbf{a,b}))\Leftrightarrow \angle (\mathbf{a,b})=\arccos(\frac {\mathbf{a\cdot b}}{|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|})[/tex]

Hvor a og b representerer AB og AC i dette tilfellet.

Tusen takk!