Er det feil? (Fourier)

[Gjest]

Hei!
JEg jobber med en oppgave innen fourierintegraler, og jeg får annerledes svar fra fasiten, og jeg lurer på om det er feil.

https://gyazo.com/001efaf4f145952e09966e16ce3e1297

det er tale om b)

Eg får nøyaktig samme svar, bare uten minus. Men jeg vet ikke hvordan jeg f. eks kan bruke wolfram alpha til å sjekke. Ser dere om den minusen foran i/4 skal være med, eller om det rett og slett er feil svar oppgitt i oppgaven?

Ingen av f-transformasjonene i tabeller inneholder minus til f(x) eller g(x).

[sbra]

Hei!

Jeg får heller ingen minus. Antar det er feil i oppgaven.

[Gjest]

Hei!

Jeg får heller ingen minus. Antar det er feil i oppgaven.

Er du helt sikker? Jeg mener at vi har rett, men noen fra fag. staben mener at jeg bare har brukt/les av feil Fourier-transformasjon for [tex]xe^{-x^2}[/tex]

[Gjest]

Noen flere som vet noe??

[zell]

[tex]\mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}\hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega}[/tex]

[tex]\mathcal{F}\left(e^{-x^2}\right) = \hat{f}(\omega) = \sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex]\hat{g}(\omega) = \mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\left[\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\right] = -\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = \mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\right) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = -\frac{i}{4}\int_{-\infty}^\infty \omega\exp{\left(-\omega^2/2\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega \; \blacksquare[/tex]

[sbra]

Oi, beklager, jeg har nok regnet feil. Regnet på nytt og da fikk jeg minus.

Ta utgangspunkt i at [tex]g(x) = -\frac{1}{2}f'(x)[/tex]
og bruk følgende relasjon for fouriertransformasjonen til den deriverte av en funksjon
[tex]\mathcal{F}\{f'\}(x) = 2\pi ix \mathcal{F}\{f\}(x)[/tex]

[Gjest]

[tex]\hat{f}(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}[/tex]

[tex]\mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}\hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega}[/tex]

[tex]\mathcal{F}\left(e^{-x^2}\right) = \hat{f}(\omega) = \sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex]\hat{g}(\omega) = \mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\left[\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\right] = -\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = \mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\right) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = -\frac{i}{4}\int_{-\infty}^\infty \omega\exp{\left(-\omega^2/2\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega \; \blacksquare[/tex]

Jeg skjønner det du har gjort osv. ,men jeg stopper fortsatt opp på hvorfor jeg ikke kan gjøre det slik:

[tex]\hat{f}(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}[/tex] , [tex]\hat{g}(\omega) =\frac{1}{2\sqrt{2}}iwe^{\frac{-w^2}{4}}[/tex]

Dermed:
[tex](f\ast g)(x)=\int_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)e^{iwx}dx=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}iwe^{\frac{-w^2}{4}}\cdot e^{iwx}dx[/tex]

[tex](f\ast g)(x)=\frac{i}{4}\int_{-\infty }^{\infty }we^{\frac{-w^2}{2}}e^{iwx}dx[/tex]

[zell]

[tex]\hat{f}(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}[/tex]

[tex]\mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}\hat{f}(\omega)}{\mathrm{d}\omega}[/tex]

[tex]\mathcal{F}\left(e^{-x^2}\right) = \hat{f}(\omega) = \sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex]\hat{g}(\omega) = \mathcal{F}\left(xf(x)\right) = i\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\left[\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\right] = -\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = \mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\right) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{i\omega\sqrt{\pi}}{2}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\sqrt{\pi}\exp{\left(-\omega^2/4\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega[/tex]

[tex](f\ast g)(x) = -\frac{i}{4}\int_{-\infty}^\infty \omega\exp{\left(-\omega^2/2\right)}\cdot\exp{\left(i\omega x\right)}\mathrm{d}\omega \; \blacksquare[/tex]

Jeg skjønner det du har gjort osv. ,men jeg stopper fortsatt opp på hvorfor jeg ikke kan gjøre det slik:

[tex]\hat{f}(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}[/tex] , [tex]\hat{g}(\omega) =\frac{1}{2\sqrt{2}}iwe^{\frac{-w^2}{4}}[/tex]

Dermed:
[tex](f\ast g)(x)=\int_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)e^{iwx}dx=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-w^2}{4}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}iwe^{\frac{-w^2}{4}}\cdot e^{iwx}dx[/tex]

[tex](f\ast g)(x)=\frac{i}{4}\int_{-\infty }^{\infty }we^{\frac{-w^2}{2}}e^{iwx}dx[/tex]

[tex]\hat{g}(\omega)[/tex] er feil. Som sbra nevner i innlegget over er [tex]g(x) = -\frac{1}{2}f^\prime (x)[/tex]

Bruker du at: [tex]\mathcal{F}(f^\prime (x)) = i\omega\hat{f}(\omega)[/tex] får du da at:

[tex]\hat{g}(\omega) = -\frac{i}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-\omega^2/4} = -i\frac{1}{4\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-\omega^2/4}[/tex] og:

[tex]\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega) = -\frac{i}{4\sqrt{2}}\omega\mathrm{e}^{-\omega^2/2}[/tex] og til slutt:

[tex](f\ast g)(x) = \mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega)\right)[/tex]