matematikk.net

Vi ser for oss en celle som er rund som en kule. La r, S og V være hendholdsvis radisen, overflatearealet og volumet til cellen.
a) Vis at S er proporsjonal med V^((2)/(3)). Dvs at det finne et tall c slik at vi kan skrive S = cV^((2)/(3))

b) Cellen deler seg i to. Volumet til hver av de to delen blir da 1/2V . Hva blir radien til disse to nye cellene? Hva blir nå forholdet mellom samlet overflatearealet og samlet volum til de to cellen? Vis at arealet til overflaten samlet sett har økt med 26%

C) Gå ut fra at cellen deler seg i tre. Hvor mange prosent vil da arealet til overflaten samlet sett ha økt?

Denne oppgaven har blitt diskutert ganske detaljert her:
http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 14&t=43549

En kan vel og sette opp en funksjon for det totalet overflatearealet til cellene

$ \hspace{1cm}
T_{d,n} = 4\pi r^2 d^{n/3}
$

Hvor $r$ er den opprinnelige radiusen, $n$ er antall generasjoner cellene har delt seg i, og $d$ er antall delinger per generasjon. Om $d = 2$, så vil cellene dobble seg for hver generasjon (2, 4, , ...) siden hver celle får to barn.
Klarer en å vise sammenhengen ovenfor blir oppgavene trivielle å løse

$\hspace{1cm}
\mathbf{b)} \quad \frac{ T_{2, 1} }{ T_{2, 0} }
$

$\hspace{1cm}
\mathbf{c)} \quad \frac{ T_{3, 1} }{ T_{3, 0} }
$