La f(x) = x^2 + 2sin x/a, der a er en konstant.
a) Finn den deriverte til funksjonen f(x) i x = a[pi][/pi]
b) Sett a = 1 og finn alle vendepunkt til f(x) mellom 0 og 2[pi][/pi]
Har svarene til oppgavene som er:
a) f'(x) = 2x + 2/a cos x/a, f'(a[pi][/pi]) = 2a[pi][/pi] - 2/a
b) f''(x) = 2 -2sin(x). Siden sin(x) = 1. Dette skjer for x = [pi][/pi]/2. Den andrederiverte skifter ikke fortegn (siden | sinx| < 1 er 2-2sinx > 0 alltid).
Funksjonen har ingen vendepunkt.
Problemet er alts� utregningen til disse oppgavene. Noen som kan vise hvordan en skal g� frem for � finne svarene? (UTREGNING).[pi][/pi]
Derivasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du kunne kanskje sagt noe litt mer presist hva som er problemet?
Siden spørsmålet er stilt på forumet for høgskole og universitet går jeg ut ifra at du vet hva derivasjon er og at du forstår litt enkel matematisk notasjon.
Husk alltid kjerneregelen!
Hvis du har en funksjon på formen
f(x)=g(x)+h(x), eller f(x)=g(x)-h(x)
blir den deriverte til funksjonen henholdsvis slik:
f'(x)=g'(x)+h'(x), eller f'(x)=g'(x)-h'(x)
Husk også formlene for derivasjon av sin og cos:
f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x)
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x)
Oppgaven:
a)f(x) = x^2 + 2sin x/a
f'(x)=(x[sup]2[/sup])' + [2*(sin(x/a))' * (x/a)'] (Brukte kjerneregelen på den siste. Konstant utenfor er lov) (x/a)'=(1/a)*(x)' (også konstant utenfor)
f'(x)=2x + 2*cos(x/a)*1/a = 2x + 2/a cos x/a
Setter inn x=aπ
f'(aπ) = 2aπ + 2/a cos aπ/a
cos aπ/a = cos π = -1
f'(aπ) = 2aπ - 2/a
b)
Har fra oppgave a at
f'(x) = 2x + 2/a cos x/a
a=1 gir
f'(x) = 2x + 2 cos x
Her er det ingen kjerne og vi trenger ikke kjerneregelen. Ellers samme fremgangsmåte som i a. Vi får direkte
f''(x) = 2 -2sin(x) (husk reglene)
Et nødvendig krav for vendepunkt er at f''(x)=0. For denne oppgaven er det ekvivalent med at
2 -2sin(x)=0, eller 2=2sin(x)
som er det samme som
sin(x)=1. Det gir ut ifra elementær trigonometri at x=π/2.
Fordi |sin(x)| aldri er større enn 1 kan 2 -2sin(x) aldri være mindre enn 0. Kravet for vendepkt om at den 2. deriverte må endre fortegn i nærheten av punktet er ikke oppfylt. Det finnes ingen x som oppfyller det kravet for funksjonen og den har altså ingen vendepunkt.
Siden spørsmålet er stilt på forumet for høgskole og universitet går jeg ut ifra at du vet hva derivasjon er og at du forstår litt enkel matematisk notasjon.
Husk alltid kjerneregelen!
Hvis du har en funksjon på formen
f(x)=g(x)+h(x), eller f(x)=g(x)-h(x)
blir den deriverte til funksjonen henholdsvis slik:
f'(x)=g'(x)+h'(x), eller f'(x)=g'(x)-h'(x)
Husk også formlene for derivasjon av sin og cos:
f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x)
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x)
Oppgaven:
a)f(x) = x^2 + 2sin x/a
f'(x)=(x[sup]2[/sup])' + [2*(sin(x/a))' * (x/a)'] (Brukte kjerneregelen på den siste. Konstant utenfor er lov) (x/a)'=(1/a)*(x)' (også konstant utenfor)
f'(x)=2x + 2*cos(x/a)*1/a = 2x + 2/a cos x/a
Setter inn x=aπ
f'(aπ) = 2aπ + 2/a cos aπ/a
cos aπ/a = cos π = -1
f'(aπ) = 2aπ - 2/a
b)
Har fra oppgave a at
f'(x) = 2x + 2/a cos x/a
a=1 gir
f'(x) = 2x + 2 cos x
Her er det ingen kjerne og vi trenger ikke kjerneregelen. Ellers samme fremgangsmåte som i a. Vi får direkte
f''(x) = 2 -2sin(x) (husk reglene)
Et nødvendig krav for vendepunkt er at f''(x)=0. For denne oppgaven er det ekvivalent med at
2 -2sin(x)=0, eller 2=2sin(x)
som er det samme som
sin(x)=1. Det gir ut ifra elementær trigonometri at x=π/2.
Fordi |sin(x)| aldri er større enn 1 kan 2 -2sin(x) aldri være mindre enn 0. Kravet for vendepkt om at den 2. deriverte må endre fortegn i nærheten av punktet er ikke oppfylt. Det finnes ingen x som oppfyller det kravet for funksjonen og den har altså ingen vendepunkt.