gruppehomomorfi

[Janhaa]

Noen som kan hinte/veilede ang denne.

Sant eller galt:

Det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en gruppe med 5 elementer til en gruppe med 12 elementer

[Gustav]

Hint: Ordenen til en undergruppe må dele ordenen til gruppa

[Gustav]

Hint 2.

Generelt resultat:

La $G$ og $H$ være to grupper der $|G|=n$ og $|H|=m$. La $f:G\to H$ være en injektiv homomorfi. Siden $Im(f)$ (bildet av $G$ under $f$) er en undergruppe av $H$, og $|Im(f)|=n$ (pga. injektiviteten til $f$), så må, fra Lagranges teorem, $m$ være delelig med $n$.

[viking]

kun den trivielle homomofismen til identiteselementet finnes

[Janhaa]

kun den trivielle homomofismen til identiteselementet finnes

Takker for hintene plutarco!

Ja - viking, [tex]\,\,\ker(\phi) = {e}[/tex]
?

betyr dette at spm over er usant?

Og samme for denne:

Det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en gruppe med 4 elementer til en gruppe med 12 elementer

usant altså?

[Gustav]

Og samme for denne:

Det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en gruppe med 4 elementer til en gruppe med 12 elementer

usant altså?

Enhver gruppe av orden 12 vil ha en sylow 2-undergruppe av orden $2^2$. Dermed kan du konstruere en injektiv homomorfi som en identitetsavbildning fra og til denne sylow 2-undergruppa.

[Gustav]

kun den trivielle homomofismen til identiteselementet finnes

Takker for hintene plutarco!

Ja - viking, [tex]\,\,\ker(\phi) = {e}[/tex]
?

betyr dette at spm over er usant?

Svaret på den første er usant fordi 5 ikke deler 12. Dermed fins det ingen undergruppe av orden 5 i gruppa med orden 12. Siden bildet av enhver homomorfi er en gruppe, og siden denne må ha orden 5 (fordi den er injektiv), så motsier dette Lagranges teorem.

[Karl_Erik]

Og samme for denne:

Det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en gruppe med 4 elementer til en gruppe med 12 elementer

usant altså?

Enhver gruppe av orden 12 vil ha en sylow 2-undergruppe av orden $2^2$. Dermed kan du konstruere en injektiv homomorfi som en identitetsavbildning fra og til denne sylow 2-undergruppa.

Jeg har ingen innvending til dette, men om utsagnet til Janhaa skal tolkes som "det finnes grupper av orden 4 og 12 slik at det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra den ene til den andre" er det kanskje lettest å bare gi et eksempel. Vi ser at for gruppene $\mathbb Z_4$ og $\mathbb Z_{12}$ er funksjonen $f: \mathbb Z_4 \to \mathbb Z_{12}$ som tar "$n \to 3 \cdot n$" (dvs. $0 \to 0, 1 \to 3, 2 \to 6, 3 \to 9$) injektiv og en gruppehomomorfi.

[Gustav]

Helt enig i at spørsmålet er stilt på en slik måte at svaret til karl erik er mer relevant her!

[Janhaa]

Og samme for denne:
Det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra en gruppe med 4 elementer til en gruppe med 12 elementer
usant altså?

Enhver gruppe av orden 12 vil ha en sylow 2-undergruppe av orden $2^2$. Dermed kan du konstruere en injektiv homomorfi som en identitetsavbildning fra og til denne sylow 2-undergruppa.

Jeg har ingen innvending til dette, men om utsagnet til Janhaa skal tolkes som "det finnes grupper av orden 4 og 12 slik at det finnes en injektiv gruppehomomorfi fra den ene til den andre" er det kanskje lettest å bare gi et eksempel. Vi ser at for gruppene $\mathbb Z_4$ og $\mathbb Z_{12}$ er funksjonen $f: \mathbb Z_4 \to \mathbb Z_{12}$ som tar "$n \to 3 \cdot n$" (dvs. $0 \to 0, 1 \to 3, 2 \to 6, 3 \to 9$) injektiv og en gruppehomomorfi.

takker...,
men dette trenger jo ikke være gruppene: $\mathbb Z_4$ og $\mathbb Z_{12}$?
Men generelt gruppene:
$\mathbb G_4$ og $\mathbb G_{12}$ ?

[Karl_Erik]

Mulig jeg bare skapte forvirring! Det jeg mente å si at om spørsmålet er "Finnes det to grupper A, B av orden 4 og 12 med en injektiv gruppehomomorfi fra A til B?" holder det å gi et eksempel på to konkrete grupper og en konkret homomorfi, som var det jeg gjorde. Om spørsmålet er "Er det sånn at om A og B er to vilkårlige grupper av orden 4 og 12, så finnes det alltid en injektiv gruppehomomorfi fra A til B?" må plutarcos (gode!) svar til.

[Janhaa]

Mulig jeg bare skapte forvirring! Det jeg mente å si at om spørsmålet er "Finnes det to grupper A, B av orden 4 og 12 med en injektiv gruppehomomorfi fra A til B?" holder det å gi et eksempel på to konkrete grupper og en konkret homomorfi, som var det jeg gjorde. Om spørsmålet er "Er det sånn at om A og B er to vilkårlige grupper av orden 4 og 12, så finnes det alltid en injektiv gruppehomomorfi fra A til B?" må plutarcos (gode!) svar til.

Alt i orden.