Jeg trenger hjelp med følgende oppgave:
Finn strømlinjen som følger vektorfeltet:
v(x,y)=3xi+(5x+6y)j,
og som går gjennom punktet (1,14).
Jeg vet at stømlinjer kan finnes ved Vx dy = Vy dx, men denne likningen er ikke separabel i dette tilfellet. Hvordan går jeg frem her? Jeg har forsøkt substitusjon uten hell, men mulig noen andre får dette til? Oppgaven gir hintet: Utfør substitusjonen y=xv(x
Strømlinjen av et vektorfelt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
loop
Denne klarer jeg isåfall ikke finne,, kan du gi meg en link?Gjest skrev:Det er en eller annen kar som allerede har lagt ut løsningen på denne typen oppgave...
-
madfro
Hei,
Litt vanskelig å tolke hintet oppgaven gir? Er det feil skrevet eller mangler det noe?
En alternativ løsning kan være å utrykke løsningen ved egenverdiene og egenvektorene for systemet.
De finnes slik:
Føst ser vi om systemet har noen kritiske punkter.
[tex]\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 3x = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 5x +6y = 0[/tex]
Eneste løsning her er (x,y) = (0,0). Altså har vi et kritisk punkt i origo.
Ved å innføre egenverdiene [tex]\lambda_1[/tex] og [tex]\lambda_2[/tex] med tilhørende egenvetkorer [tex]\overrightarrow{\xi_1}[/tex] og [tex]\overrightarrow{\xi_2}[/tex], kan vi utrykke løsningen
[tex]\overrightarrow{x} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} = C_1\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_1t} + C_2\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_2t}[/tex]
Konstantene [tex]C_1][/tex] og [tex]C_2[/tex] finnes ved å kreve at man skal passere punktet (1,14) vet et gitt tidspunkt (enklest å velge t = 0)
Dette skal kunne lede deg til følgende utrykk for x og y:
[tex]x = e^{-3t}[/tex]
[tex]y = -\frac{5}{3}e^{-3t} + \frac{47}{3}e^{-6t}[/tex]
Som angir strømnignslinjen.
Litt vanskelig å tolke hintet oppgaven gir? Er det feil skrevet eller mangler det noe?
En alternativ løsning kan være å utrykke løsningen ved egenverdiene og egenvektorene for systemet.
De finnes slik:
Føst ser vi om systemet har noen kritiske punkter.
[tex]\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 3x = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 5x +6y = 0[/tex]
Eneste løsning her er (x,y) = (0,0). Altså har vi et kritisk punkt i origo.
Ved å innføre egenverdiene [tex]\lambda_1[/tex] og [tex]\lambda_2[/tex] med tilhørende egenvetkorer [tex]\overrightarrow{\xi_1}[/tex] og [tex]\overrightarrow{\xi_2}[/tex], kan vi utrykke løsningen
[tex]\overrightarrow{x} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} = C_1\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_1t} + C_2\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_2t}[/tex]
Konstantene [tex]C_1][/tex] og [tex]C_2[/tex] finnes ved å kreve at man skal passere punktet (1,14) vet et gitt tidspunkt (enklest å velge t = 0)
Dette skal kunne lede deg til følgende utrykk for x og y:
[tex]x = e^{-3t}[/tex]
[tex]y = -\frac{5}{3}e^{-3t} + \frac{47}{3}e^{-6t}[/tex]
Som angir strømnignslinjen.
-
loop
Hei! Takk for hjelpen. Svaret stemmer ikke helt tydeligvis da jeg fortsatt får feilmelding, men jeg tror det kan være formatet. I oppgaven står det helt til slutt:madfro skrev:Hei,
Litt vanskelig å tolke hintet oppgaven gir? Er det feil skrevet eller mangler det noe?
En alternativ løsning kan være å utrykke løsningen ved egenverdiene og egenvektorene for systemet.
De finnes slik:
Føst ser vi om systemet har noen kritiske punkter.
[tex]\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 3x = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 5x +6y = 0[/tex]
Eneste løsning her er (x,y) = (0,0). Altså har vi et kritisk punkt i origo.
Ved å innføre egenverdiene [tex]\lambda_1[/tex] og [tex]\lambda_2[/tex] med tilhørende egenvetkorer [tex]\overrightarrow{\xi_1}[/tex] og [tex]\overrightarrow{\xi_2}[/tex], kan vi utrykke løsningen
[tex]\overrightarrow{x} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} = C_1\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_1t} + C_2\overrightarrow{\xi_1}e^{-\lambda_2t}[/tex]
Konstantene [tex]C_1][/tex] og [tex]C_2[/tex] finnes ved å kreve at man skal passere punktet (1,14) vet et gitt tidspunkt (enklest å velge t = 0)
Dette skal kunne lede deg til følgende utrykk for x og y:
[tex]x = e^{-3t}[/tex]
[tex]y = -\frac{5}{3}e^{-3t} + \frac{47}{3}e^{-6t}[/tex]
Som angir strømnignslinjen.
"Likningen for strømlinjen kan skrives på formen y=f(x). Svar bare med f(x) i svarfeltet. Koeffisientene i uttrykket for f(x) blir rasjonale tall."
Og hintet manglet en parantes: Utfør substitusjonen y=xv(x)
Sitter fortsatt fast her,,
-
loop
LØST!
dy/dx = 5x+6y/(3x), kan løses som en førsteordens diff.likning:
y(x)= C*x^2-(5x/3), for punktet (1,14) gir C:
C= 14+(5/3)
y=(14+5/3)(x^2)-(5x/3)
WOOP!
Takk for all hjelp!
dy/dx = 5x+6y/(3x), kan løses som en førsteordens diff.likning:
y(x)= C*x^2-(5x/3), for punktet (1,14) gir C:
C= 14+(5/3)
y=(14+5/3)(x^2)-(5x/3)
WOOP!
Takk for all hjelp!
-
madfro
Flott at du fant løsningen.
Du fant selvsagt en enklere vei en jeg startet på.
Vil bare legge til et punkt til løsningen jeg gav.
Dersom [tex]x = e^{-3t}[/tex], er [tex]x^2 = e^{-6t}[/tex], dette kan da settes inn i likningen for y og du ender opp med samme utrykk som du har funnet.
Du fant selvsagt en enklere vei en jeg startet på.
Vil bare legge til et punkt til løsningen jeg gav.
Dersom [tex]x = e^{-3t}[/tex], er [tex]x^2 = e^{-6t}[/tex], dette kan da settes inn i likningen for y og du ender opp med samme utrykk som du har funnet.