Kalkulus - Derivasjon/vendepunkter

[IntegrerBar]

Hei! I Kalkulus har vi fått en oppgave, der oppgave a) går ut på og avgjøre om f(x) er deriverbar i 0, mens i oppgave b) skal vi avgjøre hvor f vokser eller avtar, og finne eventuelt globale eller lokale ekstremalpunker.
Oppgave c og d finner jeg litt vanskeligere!

c) Avgjør hvor f er konveks og konkav, og finn eventuelle vendepunkter for f

d) d) Undersøk om f har vertikale, horisontale eller skrå asymptoter. Skisser grafen til f.


Fra oppgaveteksten har vi at funksjonen er

[tex]f(x)=xe^{-\left | x \right |}[/tex]

I oppgave a fant jeg derfor at den deriverte til f er

[tex]\frac{e^{-\left | x \right |}(\left | x \right |-x^{2})}{\left | x \right |}[/tex]

og at den er deriverbar (fordi lim x->0 konvergerer mot 1)

I b) fant jeg at f synker i (-inf, 0) og (0, inf) [inf = uendelig], og at funksjonen har ekstremapunker i 1 og -1

Hvis jeg nå kunne fått litt hjelp til å gjøre ferdig c og d, så hadde jeg blitt kjempeglad! Ganske sikker på at jeg må dobbelderivere f i c oppgaven, men jeg får forskjellig svar hver gang! :S
På forhånd, takk!

[Nebuchadnezzar]

Det enkleste på oppgaver med absoluttverdi er å dele opp funksjonen hvor den er positiv og negativ. Vi kan skrive

$ \hspace{1cm}
|x|
=
\left\{
\begin{array}{ r r r}
-x & \text{når} & x < 0 \\
x & \text{når} & x \geq 0
\end{array}
\right.
$

Dermed kan en skrive funksjonen din som

$ \hspace{1cm}
x e^{|x|}
=
\left\{
\begin{array}{ l r r}
x e^{-x} & \text{når} & x < 0 \\
x e^{ x} & \text{når} & x \geq 0
\end{array}
\right.
$

Herfra blir det mye enklere å bestemme både den deriverte, og den dobbelderiverte. Vet du hvordan du skal finne horisontale, vertikalle eller skrå asymptoter?

[chrschar]

Kan du forklare overgangen "dermed kan vi skrive funksjonen som..."?
På forhånd takk!

[viking]

Som Nebuchadnezzar sier. Observer også at da f(x) er en odde funksjon, så f'(x) blir jevn, og har dermed et ekstrempunkt i 0, som må være et maksimalpunkt, i.e. et vendepunkt for f. Altså gå f fra konveks til konkav i x=0. Løs problemet videre for x<0: Med [tex]f\left(x\right)=xe^x, x<0[/tex] (typo i innlegg over) blir det lett å finne at f'' har nullpunkt i -2. Odd symmetri gir svarene for x>0:

[chrschar]

Takk. Jeg sliter litt med forståelsen her. For eksempel vet jeg ikke hva en odde funksjon er...en funksjon som ikke er symmetrisk?

Pluss at den opprinnelige funksjonen i dette problemet var at e skulle opphøyes i (- × absoluttverdien til x). Det ser ut som om minustegnet ble borte underveis...

[chrschar]

Dvs. burde det ikke stått et minustegn foran absoluttverdien til x på ligningens venstre side i svaret fra Nebuchadnezzar?

[Gjest]

Takk. Jeg sliter litt med forståelsen her. For eksempel vet jeg ikke hva en odde funksjon er...en funksjon som ikke er symmetrisk?

Pluss at den opprinnelige funksjonen i dette problemet var at e skulle opphøyes i (- × absoluttverdien til x). Det ser ut som om minustegnet ble borte underveis...

en odde funksjon er en funksjon som er symmetrisk om origo.
Mer formelt kan vi si at for en odde funksjon gjelder f(-x) = -f(x).
Eksempler på funksjoner som er odde er [tex]f(x)=x, f(x)=x^3 ...[/tex], $f(x)=arctan(x)$ og mange andre.

Og joda det skal stå
$ \hspace{1cm}
x e^{-|x|}
=
\left\{
\begin{array}{ l r r}
x e^{x} & \text{når} & x < 0 \\
x e^{-x} & \text{når} & x \geq 0
\end{array}
\right.
$

[chrschar]

Takk, det var oppklarende!