Lineær (u)avhengighet

[anonymous94]

Hei alle!

Jeg har i oppgave 1 funnet ut av at vektorene [2; 6; 1;], [1; 17; -3] og [4; 0; 25] er lineært avhengige.

I oppgave 2
Har jeg tre vektorer [2, 1, 4], [1, -3, 5], [6, 17, 0]

Jeg ser at disse radene og kolonnene er hentet fra én og samme matrise, men vil det i oppgave 2 være lineær avhengighet i og med at dette er radene i matrisen?

Hvis ikke, hvorfor? Og hvis, hvorfor?

Takk på forhånd!

[espen180]

Det er en skrivefeil i én av vektorene dine. 25 i den første oppgaven er blitt til 5 i den andre.

Har du lært om determinanter til matriser? Hva vet du om determinanten til en matrise $\text{det}(A)$ og determinanten til den transponerte matrisen $\text{det}(A^T)$?

Hvis du ikke har lært om dette, kan du kanskje gjette svaret ved å sjekke lineær uanvhengighet manuellt i den andre oppgaven din.

[anonymous94]

Det stemmer at det er en feil ja! Skal selvfølgelig stå 5.

Har lært om determinanter ja, så vet at hvis det(A) er lik 0, vil både kolonnene og radene henholdsvis være lineært avhengige.

Så da er vel vektorene i oppgave 2 avhengige.

Men det jeg sliter med å se for meg da, er hvordan jeg finner hvilke(n) vektorer som er avhengig av de(n) andre?

Regner meg at jeg bruker Gauss-eliminasjon for å finne ut dette forholdet, men hvordan setter jeg opp disse vektorene som en matrise?

[espen180]

Du har to mulike tilfeller.

1. To av vektorene er multipler av hverandre.

2. Hver vektor er en lineær kombinasjon av de to andre.

Du kan bruke Gauss-eliminasjon, ja. Det har ikke noe å si hvordan du detter opp matrisen din. Dvs. rekkefølgen på vektorene betyr ikke noe. F.eks fungerer dette:

$$\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 4 \\ 1 & -3 & 5 \\ 6 & 17 & 0 \end{array} \right]$$

[anonymous94]

Er det noen som kan vise utregningen? Har prøvd i flere timer nå, og har fått helt sperre.

Tusen takk på forhånd!

[espen180]

$5\cdot [2,1, 4] - 4\cdot [1, -3, 5] = [6, 17, 0]$