Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Jeg lurer på om noen kan vise, helst trinn for trinn, hvordan den deriverte til
g(x) = "Integralet fra 0 til x" av e^t^2 dt
er lik g`(x) = e^x^2.
I fasit står det bare at dette forklares ved analysens fundamentalteorem (et teorem jeg trodde jeg kunne), men klarer ikke helt å se for meg hvordan dette ble den deriverte av g(x).
Jeg slet også med å forstå dette da jeg først lærte det. Jeg kan prøve å gjengi den forklaringa som gjorde at jeg skjønte det til slutt.
La oss si vi har en funksjon $f(t)$.
Vi kan definere en funksjon $g(x) = \int_a^xf(t)dt$. Dette betyr bare at variabelen i $g$ brukes som integrasjonsgrense. Ingen big deal.
Vi vet at $g(x) = \int_a^xf(t)dt = F(x) - F(a)$. Dette er bare et bestemt integral i et nøtteskall, og stor F er den antideriverte av liten f. Altså $F'(x) = f(x)$. Eller $F'(t) = f(t)$, det spiller ingen rolle hvilken variabel du bruker.
Men legg merke til at $g(x) = F(x) - F(a)$. Hva skjer hvis vi skal finne $g'(x)$?
Vel, $F(a)$ er bare en konstant, så den forsvinner. Da har vi bare at $g'(x) = \frac {\mathrm d}{\mathrm d x}F(x) = F'(x) = f(x)$. Altså er $g'(x)$ bare $f(t)$ men med $x$ som variabel.
