Finne grensen til en følge

[pi-ra]

Hei!
Oppgaven ber meg finne grensen til [tex]a_n= \frac{n^2 - 4}{n+5}[/tex].
Fasiten får [tex]\infty[/tex] som svar imens jeg får 1. I følge løsningsforslaget skal man bare dele hvert ledd i brøken på n og ikke n^2. Hvorfor det? Er det ikke vanlig å dele brøken på høyeste potens av den ukjente i slike tilfeller?

[MatIsa]

Hei!
Oppgaven ber meg finne grensen til [tex]a_n= \frac{n^2 - 4}{n+5}[/tex].
Fasiten får [tex]\infty[/tex] som svar imens jeg får 1. I følge løsningsforslaget skal man bare dele hvert ledd i brøken på n og ikke n^2. Hvorfor det? Er det ikke vanlig å dele brøken på høyeste potens av den ukjente i slike tilfeller?

Det kan lønne seg å dele med den høyeste potensen som finnes i nevneren (som i dette tilfellet er $n$), men det er mulig å få riktig svar dersom du deler på $n^2$ også.

$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2 - 4}{n+5} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}(n^2 - 4)}{\frac{1}{n^2}(n+5)}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{4}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} n = \infty$ (ettersom $\frac{4}{n^2}$ og $\frac{5}{n^2}$ blir ubetydelig små i forhold til $1$ og $\frac{1}{n}$ når $n\to \infty$)

[pi-ra]

Hei!
Oppgaven ber meg finne grensen til [tex]a_n= \frac{n^2 - 4}{n+5}[/tex].
Fasiten får [tex]\infty[/tex] som svar imens jeg får 1. I følge løsningsforslaget skal man bare dele hvert ledd i brøken på n og ikke n^2. Hvorfor det? Er det ikke vanlig å dele brøken på høyeste potens av den ukjente i slike tilfeller?

Det kan lønne seg å dele med den høyeste potensen som finnes i nevneren (som i dette tilfellet er $n$), men det er mulig å få riktig svar dersom du deler på $n^2$ også.

$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2 - 4}{n+5} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}(n^2 - 4)}{\frac{1}{n^2}(n+5)}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{4}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} n = \infty$ (ettersom $\frac{4}{n^2}$ og $\frac{5}{n^2}$ blir ubetydelig små i forhold til $1$ og $\frac{1}{n}$ når $n\to \infty$)

Jeg ser du ganger med [tex]n[/tex] her for å bli kvitt den brudne brøken. Men hvorfor kan du ikke bare la [tex]n[/tex] gå mot uendelig uten å gange den med [tex]n[/tex] og si grenseverdien ikke eksisterer fordi vi får [tex]0[/tex] under brøken?
Kan hende jeg spør litt mye, men prøver bare å skjønne hvorfor det ikke kunne vært sånn.

[MatIsa]

Jeg ser du ganger med [tex]n[/tex] her for å bli kvitt den brudne brøken. Men hvorfor kan du ikke bare la [tex]n[/tex] gå mot uendelig uten å gange den med [tex]n[/tex] og si grenseverdien ikke eksisterer fordi vi får [tex]0[/tex] under brøken?
Kan hende jeg spør litt mye, men prøver bare å skjønne hvorfor det ikke kunne vært sånn.

Du har rett i at $\frac{1}{0}$ ikke er definert, men i dette tilfellet ser vi på grenseverdien. I uttrykket $\frac{1}{\frac{1}{n}}$ kan nevneren aldri nå 0, og ved å se på hvordan $\frac{1}{n}$ oppfører seg når $n$ vokser (går nærmere og nærmere $0$), kan man konkludere med at grenseverdien $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}}$ vil vokse over alle grenser. På samme måte er $\lim_{n \to 0^+} \frac{1}{n} =\infty$

[pi-ra]

Du har rett i at $\frac{1}{0}$ ikke er definert, men i dette tilfellet ser vi på grenseverdien. I uttrykket $\frac{1}{\frac{1}{n}}$ kan nevneren aldri nå 0, og ved å se på hvordan $\frac{1}{n}$ oppfører seg når $n$ vokser (går nærmere og nærmere $0$), kan man konkludere med at grenseverdien $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}}$ vil vokse over alle grenser. På samme måte er $\lim_{n \to 0^+} \frac{1}{n} =\infty$

Jeg tror ikke jeg skjønte det helt. Hvordan konkluderer du med at grenseverdien vil vokse over alle grenser ved å på [tex]\frac{1}{n}[/tex]? Når [tex]n[/tex] går mot [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}}[/tex] vil jo [tex]\frac{1}{n}[/tex] bli [tex]0[/tex]?