logaritmer

[anonym12345678]

Er det mulig å regne ut logaritmen av 1356 forhånd? I så fall - hvordan da?

[Aleks855]

Hvilken logaritme? Hvilket grunntall?

[anonym12345678]

vet ikke

[Aleks855]

Da blir det nok verre.

I bunn og grunn så regner man ikke ut logaritmer for hånd. Det er kalkulatormat. Det er litt som kvadratrøtter. Det er "en håndfull" med tall som er lett å regne ut kvadratrota av. For eksempel 4 og 9 og 16. Men de aller fleste blir irrasjonale, og umulig å regne ut for hånd.

[Nebuchadnezzar]

Som alex sier er det mest naturlig å bruke kalkulator, men
en kan likevell komme ett godt stykke med tilnærminger. Tenk om du er strandet på en øde øy
eller enda værre på en matematikkkonkurranse med kun blyant og viskelær

Anta først at grunntallet er 10, altså den brigske logaritmen. Merk at det spiller ingen rolle hvilken
base eller gruntall det er snakk om. Da alle logaritmer bare aviker fra hverandre med en konstant.
Anta vi har funnet $\lg 1356$ da er $\lg 1356 = k \ln 1356$, hvor $k$ er en konstant (se bunnen av innlegget).

Her betgnes den briggske logaritmen som $\lg x$. Nå har vi

Vi har jo at

$
\lg 1356 = \lg 1000\left( 1 + \frac{356}{1000}\right)
= \lg 1000 + \lg \left( 1 + \frac{356}{1000}\right)
= 3 + \lg \left( 1 + \frac{356}{1000} \right)
$

Så bruker vi den briggske logaritmen vet vi at $\log 1356$ er litt mer enn $3$, men betraktelig mindre enn $4$. Herfra en bruke en
tilnærming for å få ett bedre anslag. DEt er ikke mulig å bestemme logaritmen eksakt, uansett hvor hardt en prøver. Dog
kan vi få så gode tilnærminger vi vil. Kan ta ett sist knep for å få noe høyere nøyaktighet, for $|x|<1$ har vi at**

$\lg (x+1) \sim \frac{5}{9}x$

Som medfører at

$\log 1356 \approx 3 + \lg \left( 1 + \frac{356}{1000} \right) \approx 3 + \frac{5}{9} \cdot \frac{356}{1000} \approx 3.1978$

Som gir oss to rette siffer. Relativt greit for en veldig grov tilnærmelse.
Antar en derimot at det er snakk om den naturlige logaritmen $--$ betegnet som $\log x$, som har $e$ som grunntall eller base $--$
blir ståa noe annerledes. (http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm ). Her kan vi være litt frekkere. Vi har at
$6^4 = 1296$ slik at

$
\log 1356 = \log 1296\left( \frac{113}{108} \right) = \log 1296 + \log \left( 1 + \frac{5}{108}\right)
= 4( \log 2 + \log 3) + \log \left( 1 + \frac{5}{108}\right)
$

Herfra bruker vi enkelt og greit tilnærmingene ovenfor, samt at $\log 2 \approx 0.69 = 69/100$ og $\log 3 \approx 1.01 = 101/100$.
Tilslutt har vi at for små $x$, altså $|x|<<1$ så er $\log(1+x) \approx x$. Oppsumert

$
\log 1356
= 4( \log 2 + \log 3) + \log \left( 1 + \frac{5}{108}\right)
\approx 4\left( \frac{69}{100} + \frac{11}{10}\right) + \frac{5}{108}
\approx 7.21
$

Igjen et svært bra estimat, men vi vet ikke om estimatet er over eller under forventet verdi.
For å få ett anstendig intervall kommer jeg kun til å bruke to ulikheter for
å få en god tilnærming til logaritmen.

$
\frac{69}{100} < \log 2 < \frac{7}{10} \quad \text{og} \quad 1 < \log 3 < \frac{11}{10}
$

Ved å bruke disse to verdiene kan vi anslå verdien av nesten alle logaritmer. Vil en være ekstra
flink kan en og pugge $8/5 < \log 5 < 81/50$, uten at vi kommer til å få bruk for den verdien.
Tversummen av $1356$ er delelig på $3$ så tallet er delelig på $3$. Siste siffer er delelig på $2$, så tallet er delelig på $2$.

$1356 = 2^2 \cdot 3 \cdot 113$

Dermed ved å bruke at $\log ab = \log a + \log b$ kan vi skrive

$\log 1356 = 2 \log 2 + \log 3 + \log 113$

Ved å bruke tilnærmingene ovenfor kan vi skvise $\log 1356$ mellom nedre og øvre grense.

$
\begin{array}{l l l l l}
2 \cdot \frac{69}{100} + 1 + \log 113 & < & \log 1356 & < & 2 \cdot \frac{7}{10} + \frac{11}{10} + \log 113 \\
2 + \frac{38}{100} + \log 113 & < & \log 1356 & < & < 2 + \frac{1}{2} + \log 113
\end{array}
$

Så neste steg blir å finne ut hva $\log 113$ er for noe. Her går vi frem på akkuratt samme måte som før.

$
\begin{array}{l l l l l}
\log 112 & < & \log 113 & < & \log 114 \\
4 \log 2 + \log 7 & < & \log 113 & < & < \log 2 + \log 3 + \log 19 \\
4 \cdot \frac{69}{100} + \frac{193}{100} & < & \log 113 & < & \frac{7}{10} + \frac{11}{10} + \frac{295}{100} \\
4 + \frac{69}{100} & < & \log 113 & < & 4 + \frac{3}{4}
\end{array}
$

Å bestemme $\log 7$ og $\log 19$ overlates til leser. Men en benytter akkuratt de samme tilnærmingene.
Setter en inn resultatet ovenfor får en (endelig?) at

$
\begin{array}{l l l l l}
2 + \frac{38}{100} + \log 113 & < & \log 1356 & < & < 2 + \frac{1}{2} + \log 113 \\
7 + \frac{7}{100}& < & \log 1356 & < & 7 + \frac{1}{4}
\end{array}
$

Som er en relativt god tilnærming da $\log 1356 \approx 7.212294$ via kalkis. Ellers kan newtons metode nevnes
dog konvergerer denne svært sakte om en ikke har en latterlig god startverdi. Trapesmetoden, eller sekantmetoden fungerer bedre her.
Merk at om vi bruker base 10 eller base e spiller liten rolle. Eneste forskjellen er en konstant.

Så $\log_{10}(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(10)} \approx \frac{10}{23} \log_e(x)$

Igjen ved å bruke tilnærmingene for $\log 2$ og $\log 5$. Altså er $\lg(1356) \approx \frac{10}{23}\log_e(1356) \approx 3 + \frac{7}{46}$
Som er akkuratt det samme som vi fikk i begynnelsen. Brukte her at $\log 1356 \sim 7 + 1/4$, og gadd ikke ta med intervallene denne gangen.

**

Brukte her taylorutviklingen av $\log (x+1)$, tilnærmingene ovenfor og baseskiftet. Eg $\log (1+x) \approx x$ så
$\log_{10} (1+x) = \frac{1}{\log 10}x \approx \frac{1}{7/10 + 11/10}x = \frac{5}{7}x$