imaginære tall

[Markussen]

Hei. Oppgaven lyder som følger: Gjør om det komplekse tallet til polar form, deretter regner du ut [tex]z^3[/tex]

[tex]z=-1-i[/tex]

Har funnet ut at det på polar form blir ; [tex]\sqrt{2}(cos(\pi/4) + i*sin(\pi/4))[/tex]

Så skal man regne ut z^3

Da har jeg skrevet: [tex]z^3=-1-i[/tex], hvordan skal jeg begynne her?

[Nebuchadnezzar]

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula

[svinepels]

Hvis $z = -1-i$, hvorfor har du da skrevet $z^3 = -1 - i$ ? Det du vil finne er $z^3 = (-1-i)^3$. Da bytter du ut $-1-i$ med den polare representasjonen og bruker de Moivre som Nebuchadnezzar linka til.

[Aleks855]

Hvis du allerede har funnet tallet på polar form, så er multiplikasjon veldig lettvint: http://udl.no/matematikk/komplekse-tall ... -form-1271

[Markussen]

Takk for svar og video. Skjønte det mye bedre nå. Stiller litt spm underveis, jeg. Er jo tross alt helt nytt!

[Markussen]

Nå har jeg fått svaret; [tex]z^3=2(cos(\pi) + isin(\pi))[/tex], er det riktig å avslutte svaret sånn? Har ikke fått veldig god gjennomgang i dette, dessverre.

[Nebuchadnezzar]

Hvordan fikk du det? Ved å bruke De Moivre's får jeg

$ \hspace{1cm}
\begin{array}{lcl}
z
& = \sqrt{2} & ( \cos \pi/4 + i \sin \pi/4) \\
z^3
& = 2^{3/2} & ( \cos \pi/4 + i \sin \pi/4)^3 \\
& = 2 \sqrt{2} & ( \cos 3\pi/4 + i \sin 3\pi/4)
\end{array}
$

Verdiene av $\cos 3\pi/4$ og $\cos 3\pi/4$ kjenner du kanskje fra trigonometrien?
Ellers kan det være fornuftig å tegne dem i et koordinatsystem =)

[viking]

Eller bare regne det ut med vanlig algebra:
[tex]z=-1-i=\sqrt{2}e^{(-3\pi i/4) }[/tex] (polar form)
derfor blir
[tex]z^{3}=(\sqrt{2}e^{(-3\pi i/4) })^{3}[/tex]
[tex]=(\sqrt{2})^{3}e^{(-3*3\pi i/4) })=2\sqrt{2}e^{-i\pi/4}[/tex] *
=2(1-i)

*Gang uttrykket med [tex]e^{2i\pi}\equiv 1[/tex] (i.e legg til [tex]2\pi[/tex] i eksponenten) for å normalisere dette