matematikk.net

Heisann. Ny innleveringsoppgave her i Bodø, trenger litt hjelp.

---------
Oppgave K b)

En mann vinner en stor sum penger i Lotto. Han er svært glad i småfugler og bestemmer seg for å avsette 1 million kroner i et fond som skal gi årlige utbetalinger til blant annet fuglefrø. På grunn av det gode formålet får han en bank til å gi 10 % årlig avkastning på fondet. Etter 1 år vil han betale ut en viss sum. På grunn av prisstigning skal denne summen øke med 3 % per år. Etter den 50. utbetalingen skal fondet være tomt og utbetalingene slutte. Hvor stor blir den første utbetalingen?

Det hadde vært gøy hvis fondet mitt kunne vart i ”ubegrenset” mange år, tenkte mannen. La betingelsene være de samme som over og finn størrelsen på den første utbetalingen når fondet skal vare i ”all evighet”.
-----------

Er det noen som kunne hjulpet meg litt med denne, i det minste gitt noen hint om hvilke matematiske "trylleformler" jeg må bruke får å løse dette? Er helt på villspor

Trenger også litt hjelp på denne... Sikkert ganske lett egentlig,men jeg eier ikke evne til å tenke logisk... Noe som er litt dumt når det er matte en holder på med

Det må da være noen som kan hjelpe oss med denne...

Solar Plexus?

La F(n) vera storleiken på fondet etter n år. F(0) = 1000000. Vidare, la S vera storleiken på den første utbetalinga. Me har då rekursjonsformelen

F(n+1) = F(n)*1,1 - S*1,03^n

Det første leddet til høgre viser gamal fondstorleik + avkasting. Det andre leddet viser så utbetalinga: Den er S første året, og aukar så med 1,03 for kvart år som har gått. Altså er F(1) = F(0)*1,1 - S, F(2) = F(1)*1,1 - S*1,03 og så vidare.

Me må finna eit meir passande uttrykk for F(n). Det er jo då passande å observera at me har ein heterogen differenslikning (det er tilstrekkeleg å kjenna til geometriske rekkjer). Me får i alle høve formelen

Me finn F(n) = [F(0) - A] * 1,1^n + A *1,03^n = F(0)*1,1^n - A[1,1^n - 1,03^n]

der A = 100S/7 (Sjekk at dette stemmer! F(0) må vera F(0) og rekursjonsformelen må passa overeins med denne formelen)

Oppg. 1: Me skal ha F(50) = 0, dvs. at F(0) * 1,1^50 = A(1,1^50 - 1,03^50), dvs.

A = F(0) * 1,1^50 /(1,1^50 - 1,03^50) = F(0)/[1 - (1,03/1,1)^50]. Når A er funnen, så er det lett å finna S.

Oppg. 2: Dersom F(n) = 0, så er A = F(0)/[1 - (1,03/1,1)^n]. For aukande n er dette uttrykket minkande, med nedre grense F(0). Me må ha A så liten at F(n) aldri er 0, og den maksimale A er difor F(0). Det er no lett å finna S.

Heisann...

Lurer litt på hvordan du kom frem til A = 100S/7?
Hva er det egentlig A representerer her?