Generalisert egenvektor

[Pusur1993]

Holder på med egenvektorer og det er en ting jeg ikke helt skjønner. Det gjelder tilfellet hvor en 2x2-matrise bare har 1 egenverdi. Det foreleseren forklarte at man gjør da er først finne egenvektoren og så setter opp (A-I*lambda)x=v hvor v er egenvektoren. Da får man at x er en lineærkombinasjon av en konstant ganger egenvektoren pluss en ny vektor som foreleseren bare sa at var en annen egenvektor. Men denne vektoren oppfyller jo ikke definisjonen for en egenvektor, nemlig at hvis man ganger matrisen med egenvektoren får man en konstant ganger egenvektoren. Jeg søkte litt og det virker som om denne vektoren er noe som kalles en generalisert eigenvektor? Jeg skjønner ikke helt hva dette er for noe, og wikipedia-artikkelen gjorde meg ikke veldig mye klokere. Noen som har en pedagogisk forklaring på hva den generaliserte egenvektoren er og hvorfor den formelen jeg nevnte gir en linærkombinasjon av den og egenvektoren? Og hva har dette å gjøre med at matrisen bare har en egenverdi? Og hvorfor dukker denne vektoren opp når man løser differensialligningssystemer med bare en egenvektor? Ble mange spørsmål her nå, men er ganske forvirret ...