Differenslikninger

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Integrand
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 08/11-2013 22:54

Jeg skal finne verdier for A og B i følgende følgende differenslikning:

[tex]x_{t+3} + Ax_{t+2} + Bx_{t+1} + x_{t} = 0[/tex]

Her har jeg fått oppgitt at [tex]\cos(\frac{\pi}{4} t)[/tex] er en løsning.

Jeg har et løsningsforslag jeg kan støtte meg til, men jeg føler meg usikker på hvordan jeg skal angripe slike oppgaver generelt. Hva om det ikke er en komplekskonjugert løsning, men i stedet to reelle løsninger eller en dobbeltrot? Etter å ha studert løsningsforslaget lurer jeg på om dette er riktig fremgangsmåte for å løse slike oppgaver:

1. Finn basisløsningene til likningen. Antall basisløsninger tilsvarer hvilken orden differenslikningen har (vi teller om nødvendig med multiplisitet). Likningen over har tre basisløsninger, siden den er av tredje orden.
De tre basisløsningene til eksempelet jeg innledet med, oppgis til å være [tex]u_{t}^{1}=\cos(\frac{\pi}{4}t), u_{t}^{2}=\sin(\frac{\pi}{4}t), u_{t}^{3}=a^{t}, a\in\mathbb{R}[/tex]. Her forstår jeg [tex]u_{t}^{1}[/tex]og [tex]u_{t}^{2}[/tex]. [tex]u_{t}^{1}[/tex] har vi jo fra før, og de komplekse løsningene opptrer i par. Jeg føler meg imidlertid usikker på hvorfor vi kan slå fast at den siste løsningen er på formen [tex]u_{t}^{3}[/tex]. Er det fordi vi har her en homogen likning, og det er det som er "standardløsningen" av slike?

2. Bruk basisløsningene til å finne løsningene av den karakteristiske likningen. Da kan den karakteristiske likningen skrives på faktorisert form.

I eksempelet er den karakteristiske likningen [tex]{m^{3}} + A{m^{2}} + B{m} + 1 = 0[/tex]

Som kan faktoriseres til

[tex]({m-m_{1}})({m-m_{2}})({m-m_{3}}) = 0[/tex]

Der [tex]{m_{n}}[/tex] er en rot.

3. Multipliser sammen den faktoriserte karakteristiske likningen slik at man får et n-tegradsuttrykk, der n tilsvarer ordenen til differensiallikningen. Fra dette vil man finne (ev. ved å faktorisere) uttrykk som korresponderer til A og B i det opprinnelige problemet. Uttrykket foran [tex]m^{2}[/tex] vil dermed svare til A i eksempelet mitt, for eksempel. Disse uttrykkene utgjør til sammen et likningssystem.

På forhånd tusen takk for svar! :)
Svar