Side 1 av 1
En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:25
av NyStudentUtavTrening
Kom over en oppgave her, som eg ikke forsto hvorfor kun bare en av likningene har løsning:
Oppgave: Av de to likningene √(x-1)=-2 og √(x-1)=2 er det bare en som har løsning.
Kan ikke eg ta i andre potens på begge sider for så å få x=5?
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:31
av Aleks855
Du regner riktig, men her er det snakk om definisjonen av kvadratrot.
En kvadratrot er ALLTID et positivt tall.
Altså $\sqrt4 = 2$ men $\sqrt4 \neq -2$. Altså, kvadratrota til et tall er alltid det POSITIVE tallet som må ganges med seg selv for å få det første.
Så den første likninga, hvis du setter inn x=5, så får du $\sqrt{5-1} = \sqrt4 = -2$. Dette er dermed feil.
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:43
av NyStudentUtavTrening
Takk for hjelpen!
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:46
av NyStudentUtavTrening
Men når vi tar kvadratroten av et tall f.eks √4 så skriver vi jo √4 = +-2?
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:51
av Aleks855
NyStudentUtavTrening skrev:Men når vi tar kvadratroten av et tall f.eks √4 så skriver vi jo √4 = +-2?
Nei, det er ikke helt riktig. Det strider igjen med definisjonen av kvadratrot. Det er kun den positive 2ern som er rett.
Men du er inne på noe. Det vi KAN gjøre, er å si at dersom $x^2 = 4$ så er $x = \pm 2$ siden både $2^2 = (-2)^2 = 4$
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 18:59
av NyStudentUtavTrening
Skal heller akseptere at √4 ikke er -2, men ser ikke helt hvorfor det er slik.
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 19:05
av Gommle
De første paragrafene på Wikipedia forklarer dette bra:
In mathematics, a square root of a number a is a number y such that y^2 = a, or, in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y × y) is a.[1] For example, 4 and −4 are square roots of 16 because 4^2 = (−4)^2 = 16.
Every non-negative real number a has a unique non-negative square root, called the principal square root, which is denoted by √a, where √ is called the radical sign or radix. For example, the principal square root of 9 is 3, denoted √9 = 3, because 3^2 = 3 × 3 = 9 and 3 is non-negative. The term whose root is being considered is known as the radicand. The radicand is the number or expression underneath the radical sign, in this example 9.
Every positive number a has two square roots: √a, which is positive, and −√a, which is negative. Together, these two roots are denoted ± √a (see ± shorthand). Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation "the square root" is often used to refer to the principal square root. For positive a, the principal square root can also be written in exponent notation, as a1/2.[2]
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 19:14
av Aleks855
NyStudentUtavTrening skrev:Skal heller akseptere at √4 ikke er -2, men ser ikke helt hvorfor det er slik.
Nei, det er ikke alltid lett å se hvorfor det er slik, men det er fordi det er slik vi har definert kvadratrøtter. Ikke fordi det er umiddelbart intuitivt, men fordi det gjør regninga konsekvent når man bruker det i andre typer utregninger.
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 19:16
av NyStudentUtavTrening
Den er grei, takk for hjelpen!
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 19:20
av Aleks855
Bare hyggelig. Jeg husker jeg lurte på akkurat det samme da jeg gikk forkurs (tok ikke matte på vgs), så jeg sleit med de samme spørsmålene.
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 17/10-2013 19:29
av NyStudentUtavTrening
Ja det er sånne spørsmål som en føler ikke har like logiske svar, er ikke alltid like lett å bare akseptere en definisjon...
Re: En ligning er gyldig andre ugyldig, hvorfor?
Lagt inn: 18/10-2013 06:56
av Gustav
All matematikk handler om å ta utgangspunkt i gitte definisjoner av konsepter, og utlede mer kompliserte sammenhenger eller konsekvenser utfra disse definisjonene gjennom å bruke logiske argumentasjonsrekker.
Det er derfor umulig å "forstå" hvorfor $\sqrt{4}\neq -2$ uten å ta utgangspunkt i definisjonen av $\sqrt{x}$.
Definisjon: $\sqrt{x}$ er det positive reelle tallet y slik at $y^2=x$.
Det er opplagt utfra denne definisjonen at $\sqrt{4}\neq -2$, siden $-2$ ikke er et positivt tall.
Verre enn dette er det ikke. Så kan man spørre seg hvorfor definisjoner er sånn og sånn, men det generelle svaret på dette er som regel at det er "hensiktsmessig" i forhold til resten av den matematiske teorien. Nøkkelen til å forstå matematikk er å være nøye med å forstå definisjonene. Hvis man slurver med å forstå definisjonene fører dette som regel til mye frustrasjon og feilaktige forestillinger.
Fordelen med å definere $\sqrt{x}$ som den positive rota er at man da kan definere en entydig funksjon $f(x)=\sqrt{x}$. (som har en entydig verdi for hver x).