Kan en funksjon fra R ikke være punktvis begrenset?

[Flabbrø]

Gitt mengden [tex]\mathcal{F}[/tex] som består av alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]. Er denne mengden punktvis begrenset*?

*En delmengde [tex]\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}[/tex] kalles punktvis begrenset dersom det for hver [tex]a\in\mathbb{R}[/tex] finnes en konstant [tex]M_a[/tex] slik at [tex]|g(a)|\leq M_a[/tex] for alle [tex]g\in\mathcal{G}[/tex].

[svinepels]

La oss anta at påstanden stemmer. Da finnes det en konstant $M$ slik at $|g(1)| \leq M$ for alle $g \in \mathcal{F}$. Hva kan du nå si om funksjonen $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gitt ved $h(x) = x+M$ for alle $x$?

[Gustav]

La G være mengden av konstante funksjoner fra R til R. Det er rimelig åpenbart at denne ikke er punktvis begrenset.

[Flabbrø]

Ehm ... Jeg har egentlig tenkt på endelige mengder, men det er jo ikke det jeg har spurt om. Beklager det, og takk for svar.

[Gustav]

Hvis G er en endelig mengde av funksjoner er den punktvis begrenset, ja. Skriv $G=\{g_1,g_2,\dots,g_n\}$, og la $M_a=\max_{i}g_i(a)$ for hver a i domenet.

[wingeer]

Hva hvis hver av $g_i$ er ubegrenset selv? Det er jo bare gitt at de skal være reelle funksjoner uten videre krav.

[Gustav]

Hva hvis hver av $g_i$ er ubegrenset selv? Det er jo bare gitt at de skal være reelle funksjoner uten videre krav.

Det har ingenting å si. Punktvis begrenset er ikke det samme som begrenset. Så lenge det er snakk om en endelig mengde funksjoner, vil det for hver a i domenet finnes en øvre skranke M slik at (absoluttverdien til) alle funksjonsverdiene i a ligger innenfor denne.

[wingeer]

Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

[espen180]

Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

[wingeer]

Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

Etter å ha lest så mange forskjellige bøker med så mange forskjellige konvensjoner er det aldri godt å vite om forfatteren med den notasjonen mener at funksjonen er surjektiv på hele kodomenet i funksjonsdefinisjonen. Jamfør det vanlige "abuse of notation": $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ved $x \mapsto x^2$.

[espen180]

Hva hvis funksjonene ikke er definert i $a$? Det er mulig jeg overser noe helt åpenbart her nå ...

Det er snakk om funksjoner $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. $f(x)$ må være et reellt tall for hver $x\in\mathbb{R}$. Som en konsekvens er $f(x)<\infty$ for all $x\in\mathbb{R}$. Det betyr ikke at funksjonene ikke kan ha divergerende (eller konvergerende til $\pm\infty$) grenseoppførsel.

Etter å ha lest så mange forskjellige bøker med så mange forskjellige konvensjoner er det aldri godt å vite om forfatteren med den notasjonen mener at funksjonen er surjektiv på hele kodomenet i funksjonsdefinisjonen. Jamfør det vanlige "abuse of notation": $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ved $x \mapsto x^2$.

Det høres ut som en veldig rar konvensjon. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ betyr vel bare at $f(x)\in\mathbb{R}$ for alle $x\in\mathbb{R}$? For meg er dette den eneste naturlige konvensjonen.

[wingeer]

Du har selvfølgelig helt rett. Tenkte ikke med hodet, tydeligvis.

[Flabbrø]

Takk for svaret. Var redd jeg hadde oversett noe.