Finne b slik at funksjonen kan inverteres

[Simen236]

Find the smallest number b such that the function
[tex]f(x)=x^3+4x^2+bx+7[/tex]

is invertible.
Evaluate [tex]\frac{d}{dx}f^{-1}(4)[/tex] using that b.

For at funksjonen skal være mulig å invertere, må den ikke være stigende for hele def. mengden? Da deriverer jeg og får: [tex]3x^2+8x+b > 0[/tex]
[tex]b > -3x^2-8x[/tex] Dette leder jo ingen steder, siden jeg ser av Geogebra at b må ha en verdi mellom 5 og 6. Hva skal jeg gjøre?

[wingeer]

For at funksjonen skal være inverterbar på hele definisjonsområdet må den være 1-1. Vi er altså ikke interessert i at den deriverte skal krysse x-aksen da dette vil resultere i lokale ekstremalverdier. Vi må derfor finne den minste $b$ slik at vi kan garantere at $f'(x) \geq 0$. Med andre ord, finn en $b$ slik at $f'(x)$ har maksimalt ett nullpunkt. Siden $f'(x)$ er gitt ved en andregradsligning vil dette være det samme som å finne ut når diskriminanten er lik 0.

[Simen236]

Takk, får da at b = 16/3 noe som stemmer bra

Stemmer det ikke at hvis [tex]f^{-1}(4)=a[/tex], så er (4, a) et punkt på [tex]f^{-1}[/tex] og (a, 4) et punkt på f?

Vi vet [tex]f[/tex]', er det ikke da bare å finne a for [tex]f'(a)=4[/tex]? Får da noen veldig stygge røtter, så tror ikke dette ble riktig.

[wingeer]

Det stemmer, ja. Merk at funksjonen ikke har noen derivert i punktet hvor $f'(x)=0$, så for å sikre at funksjonen er invers deriverbar på hele definisjonsområdet må du velge $b$ slik at $f'(x) \neq 0$ for alle $x$. 4 er derimot ikke et slikt punkt, så du trenger ikke tenke på det i dette tilfellet, men det er greit å vite til andre oppgaver. Det du skriver stemmer. Løser du $f'(a)=4$ vil du få noen røtter, men jeg synes ikke det på noen måte er veldig stygt. Ihvertfall ikke ifølge wolframalpha.

[Simen236]

Programmet svaret skal skrives inn i aksepterer bare ett uttrykk som svar. Hvilken verdi for a skal jeg da velge?

[wingeer]

Beklager, jeg tenkte ikke heeelt over hva du skrev. Det stemmer det du skriver. Hvis $f(x) = y$ så er $f^{-1}(y)=x$. Det som ikke nødvendigvis trenger å være sant er at den deriverte til $f$ har en invers og hvis den har en invers så er den lik $f^{-1}$ derivert. Det man derimot i dette tilfellet vet er at $f$ har en invers (med unntak av verdien for $x$ hvor $f'(x) = 0$). Det at $f$ har en invers er ekvivalent med at det finnes en funksjon $f^{-1}$ slik at $f(f^{-1}(x))=x$. Deriverer vi dette med hensyn på x får vi at $f'(f^{-1}(x)) \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = 1$ eller at $\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Så $\frac{d}{dx} f^{-1}(4) = \frac{1}{f'(f^{-1}(4))}$. Her kan du bruke at $f(a) = 4 \Leftrightarrow f^{-1}(4)=a$.