Spørsmål om Contradiction Mapping Theorem

[matsorz]

Har gitt funksjonen f(x)=x^3 + x^2 -3x-3, på intervallet [1,2], og vil utføre fixed point iteration på x=sqrt( -x² +3x+3 /x) =g(x).
Skal bevise at denne oppfyller teoremet, og at det for alle x i intervallet [1,2] er en startverdi som konvergerer til løsningen ( som er sqrt(3)).

Teoremet sier at g skal være kontinuerlig osv( dette er ok)
Men det sier også at for alle x i [a,b] er g(x) i [a,b].
Dette stemmer jo ikke, siden feks g(1)=sqrt(5), og sqrt(5) er ikke med i [1,2]

Spørsmålet mitt er hvordan jeg løser dette( vet at teoremet skal være oppfylt for denne funksjonen) og om det er lov til å utvide eller forminske området mitt ( her: [1,2]) selv om oppgaven sier at f(x) er definert i dette området.

Takk for hjelp!

[wingeer]

Du mener vel contraction mapping theorem, eller Banachs fikspunktteorem. For å vise at man kan benytte seg av dette teoremet må du vise at funksjonen er en kontraksjon på sitt bilde (i.e. [tex][f(1), f(2)][/tex]. Det har ingenting å si at det ikke er [1,2] ettersom det er metrikken som er avgjørende for teoremet uansett. Du må også henvise til at det lukkede intervallet er et lukket underrom av et Banach-rom og derfor i seg selv Banach.
For å vise at g(x) er en kontraksjon må du vise at det finnes en $0 \leq \alpha < 1$ slik at:
[tex]\forall x,y \in [1,2], |g(x)-g(y)| \leq \alpha |x-y|[/tex].

[matsorz]

det du lister opp på slutten hjelper meg bare til det 3.kriteriet av teoremet. Det andre kriterietet sier at
for alle x i [a,b] skal g(x) være i [a,b] og det er dette jeg sliter med å verifisere.
Hva mener du med setningen: "Det har ingenting å si at det ikke er [1,2] ettersom det er metrikken som er avgjørende for teoremet uansett. " ?

[wingeer]

det du lister opp på slutten hjelper meg bare til det 3.kriteriet av teoremet. Det andre kriterietet sier at
for alle x i [a,b] skal g(x) være i [a,b] og det er dette jeg sliter med å verifisere.
Hva mener du med setningen: "Det har ingenting å si at det ikke er [1,2] ettersom det er metrikken som er avgjørende for teoremet uansett. " ?

Stryk det, jeg tenkte meg ikke helt om der. Det er selvfølgelig metrikken som er avgjørende, men selvfølgelig må du benytte den på en funksjon som sender til seg selv.
Noe sier meg at oppgaven du egentlig skal løse er å vise at $f(x)=x^3+x^2-3x-3=0$ har en unik løsning i $[1,2]$. Stemmer dette?

[Nebuchadnezzar]

Flere som har Numerisk Matematikk på NTNU i høst?
Er vel en fordel at du tygger litt mer på oppgavene enn et par timer etter oppgavene er slippet ut.=)

Du skal vise at to av de tre funksjonene $g_1$, $g_2$, $g_3$ er en iterasjon som
konvergerer mot $\xi = \sqrt{3}$ for alle $x \in [1,2]$. Du skal ikke vise
at $f(x)$ er en kontraksjon, noe som du skrev i første innlegg.
Men heller at $g$ er det.

Enkleste er å vise at den deriverte er kontinuerlig på intervalet siden
http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4215/2 ... nlineq.pdf
fra side 3 her.