Kan noen være så snill å gi en fullstendig forklaring av den alternative formelen for den den deriverte: [tex]f'(x)= \lim_{z\to x}\frac{f(z) - f(x)}{z - x}[/tex]
Klarer ikke å skjønne hvordan man kommer fram til: [tex]f'(x)= \lim_{z\to x}\frac{1}{\sqrt z-\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]
Alternativ formel for den derivert
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det der ser ut som mean value theorem. Den er litt annerledes enn formelen for den deriverte.Simen236 skrev:Kan noen være så snill å gi en fullstendig forklaring av den alternative formelen for den den deriverte: [tex]f'(x)= \lim_{z\to x}\frac{f(z) - f(x)}{z - x}[/tex]
Klarer ikke å skjønne hvordan man kommer fram til: [tex]f'(x)= \lim_{z\to x}\frac{1}{\sqrt z-\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]
http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
http://www.sosmath.com/calculus/diff/der11/der11.html
Sikkert noen som kommer på senere som har bedre forklaringer. HANG IN THERE SON!
Edit: Jeg kan kanskje prøve meg med et eksempel.
f(x) = 4x^2 +2x
Innsatt i formelen gir det:
lim z mot x = (f(z) - f(x))/z -x
(4z^2 +2z) - (4x^2 + 2x)/ z -x
(4z^2 - 4x^2) + 2z - 2x/ z -x
4(z+x)(z-x) + 2(z-x)/ (z-x)
Det gir
4 (z+x) + 2
Nå er det tid for grenseverdien:
4(2x) + 2
Det gir tilslutt:
8x +2
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Jeg antar at standardformelen er [tex]f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
Hvis vi setter [tex]h=x-a[/tex] i denne formelen får vi at
[tex]f'(a)=\lim_{x-a\rightarrow0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex]
Når [tex]x-a[/tex] går mot null må x gå mot a, så dette kan skrives som
[tex]f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex]
Hvilket er den alternative formelen du oppgir. Avhengig av hvordan oppgaven kan man vurdere hvilken av dem som er mest hendig.
I eksempelet du har med så er nok den alternative formen langt bedre!
Vi skal derivere funksjonen [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] i punktet [tex]a[/tex] ved hjelp av definisjonen av den deriverte.
Velger den alternative formelen, som viser seg å være et godt valg her!
[tex]f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim_{x\rightarrow a}\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac1{2\sqrt{a}}[/tex]
Hvis vi setter [tex]h=x-a[/tex] i denne formelen får vi at
[tex]f'(a)=\lim_{x-a\rightarrow0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex]
Når [tex]x-a[/tex] går mot null må x gå mot a, så dette kan skrives som
[tex]f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex]
Hvilket er den alternative formelen du oppgir. Avhengig av hvordan oppgaven kan man vurdere hvilken av dem som er mest hendig.
I eksempelet du har med så er nok den alternative formen langt bedre!
Vi skal derivere funksjonen [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] i punktet [tex]a[/tex] ved hjelp av definisjonen av den deriverte.
Velger den alternative formelen, som viser seg å være et godt valg her!
[tex]f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim_{x\rightarrow a}\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac1{2\sqrt{a}}[/tex]
