an = a[sub]n−1[/sub] +2[sub]an−2[/sub] +3 * 2 [sup]n[/sup],
med initialbetingelser a0 =0 og a1 =0.
Så står det: dersom f(n) = ar[sup]n[/sup] prøv med Ar[sup]n[/sup]
skal eg då setje
a[sub]n−1[/sub] +2[sub]an−2[/sub] +3 * 2 [sup]n[/sup]= Ar[sup]n-1[/sup] + 2Ar[sup]n-2[/sup] + 3*2[sup]n[/sup]
Kva gjere?
edit: retting..
Differens likning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1686
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Du oppgir at:
(1) a[sub]n[/sub] = a[sub]n−1[/sub] + 2a[sub]n−2[/sub] + 3*2[sup]n[/sup]
for n>=2 med initialbetingelsene a[sub]0[/sub] = 0 og a[sub]1[/sub] = 0.
Anta at a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] (n>=2) for to konstanter A og R. Vha. av initialbetingelsene a[sub]0[/sub]=a[sub]1[/sub]=0 og den rekursive formelen (1) får du nemlig at
a[sub]2[/sub] = a[sub]1[/sub] + 2*a[sub]0[/sub] + 3*2[sup]2[/sup] = 0 + 2*0 + 12 = 12.
a[sub]3[/sub] = a[sub]2[/sub] + 2*a[sub]1[/sub] + 3*2[sup]3[/sup] = 12 + 2*0 + 24 = 36.
Så dersom a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] for alle n>=2, må
(2) Ar[sup]2[/sup] = 12,
(3) Ar[sup]3[/sup] = 36.
Deler vi likning (3) på (2), får vi at Ar[sup]3[/sup] / Ar[sup]2[/sup] = 36/12, dvs. at r=3. Dermed blir A = 12/r[sup]2[/sup] = 12/3[sup]2[/sup] = 12/9 = 4/3. M.a.o. må
a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] = (4/3)*3[sup] n[/sup] = 4*3[sup]n-1[/sup] (n>=2).
Denne formelen i kombinasjon med (1) gir
3*2[sup]n[/sup] = a[sub]n[/sub] - a[sub]n−1[/sub] - 2a[sub]n−2[/sub] = 4*3[sup]n-1[/sup] - 4*3[sup]n-2[/sup] - 8*3[sup]n-3[/sup] = 4*3[sup]n-3[/sup] (9 - 3 - 2) = 2[sup]4[/sup]* 3[sup]n-3[/sup]
3*2[sup]n[/sup] = 2[sup]4[/sup]* 3[sup]n-3[/sup]
2[sup]n-4[/sup] = 3[sup]n-4[/sup]
(2/3)[sup]n-4[/sup] = 1
n = 4.
Dette betyr at den eksplisitte formelen a[sub]n[/sub] = 4*3[sup]n-1[/sup] ikke stemmer overens med den rekursive formelen (1) når n>4. Dermed kan vi konkludere med at antagelsen om at a[sub]n[/sub] kan uttrykkes på formen Ar[sup]n[/sup] er usann.
Vha. av genererende funksjoner går det an å vise at den eksplisitte formelen for a[sub]n[/sub] blir
a[sub]n[/sub] = [(3n - 2)*2[sup]n+1[/sup] + 4*(-1)[sup]n[/sup]] / 3.
(1) a[sub]n[/sub] = a[sub]n−1[/sub] + 2a[sub]n−2[/sub] + 3*2[sup]n[/sup]
for n>=2 med initialbetingelsene a[sub]0[/sub] = 0 og a[sub]1[/sub] = 0.
Anta at a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] (n>=2) for to konstanter A og R. Vha. av initialbetingelsene a[sub]0[/sub]=a[sub]1[/sub]=0 og den rekursive formelen (1) får du nemlig at
a[sub]2[/sub] = a[sub]1[/sub] + 2*a[sub]0[/sub] + 3*2[sup]2[/sup] = 0 + 2*0 + 12 = 12.
a[sub]3[/sub] = a[sub]2[/sub] + 2*a[sub]1[/sub] + 3*2[sup]3[/sup] = 12 + 2*0 + 24 = 36.
Så dersom a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] for alle n>=2, må
(2) Ar[sup]2[/sup] = 12,
(3) Ar[sup]3[/sup] = 36.
Deler vi likning (3) på (2), får vi at Ar[sup]3[/sup] / Ar[sup]2[/sup] = 36/12, dvs. at r=3. Dermed blir A = 12/r[sup]2[/sup] = 12/3[sup]2[/sup] = 12/9 = 4/3. M.a.o. må
a[sub]n[/sub] = Ar[sup]n[/sup] = (4/3)*3[sup] n[/sup] = 4*3[sup]n-1[/sup] (n>=2).
Denne formelen i kombinasjon med (1) gir
3*2[sup]n[/sup] = a[sub]n[/sub] - a[sub]n−1[/sub] - 2a[sub]n−2[/sub] = 4*3[sup]n-1[/sup] - 4*3[sup]n-2[/sup] - 8*3[sup]n-3[/sup] = 4*3[sup]n-3[/sup] (9 - 3 - 2) = 2[sup]4[/sup]* 3[sup]n-3[/sup]
3*2[sup]n[/sup] = 2[sup]4[/sup]* 3[sup]n-3[/sup]
2[sup]n-4[/sup] = 3[sup]n-4[/sup]
(2/3)[sup]n-4[/sup] = 1
n = 4.
Dette betyr at den eksplisitte formelen a[sub]n[/sub] = 4*3[sup]n-1[/sup] ikke stemmer overens med den rekursive formelen (1) når n>4. Dermed kan vi konkludere med at antagelsen om at a[sub]n[/sub] kan uttrykkes på formen Ar[sup]n[/sup] er usann.
Vha. av genererende funksjoner går det an å vise at den eksplisitte formelen for a[sub]n[/sub] blir
a[sub]n[/sub] = [(3n - 2)*2[sup]n+1[/sup] + 4*(-1)[sup]n[/sup]] / 3.