Areal i polarkoordinater

[efc]

God dag,

Oppgave: Find the areas of the regions inside the lemniscate $r^2 = 6\cos (2\theta)$ and outside the circle $r = \sqrt{3}$.

Bruker ø$=\theta$.
Jeg har kommet fram til at det er lettest å bruke symmetri rundt y-aksen, slik at det blir [tex]2*\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}*((6*\cos(2\theta))^2 - \sqrt{3}^2) d\theta[/tex]
. Har skissa hvordan disse grafene ser ut, men kommer ikke fram til en fornuftig måte og regne skjæringspunktene på. Hvilken måte vil være mest naturlig? Har også en følelse av at jeg har tenkt feil en eller annen plass, så håper noen her kan guide meg i riktig retning.

Ble litt rotete det her, så bare spør om noe er uklart.

På forhånd, takk.

Edit: endret spørsmålet til tex - plutarco

[Gustav]

Bruk polarkoordinater.

Skjæringspunktenes vinkelkoordinater er gitt ved ligningen

$r^2 = (\sqrt{3})^2 = 6\cos 2\theta$, altså $\cos 2\theta = \frac12$, som svarer til at $2\theta = \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$.

[efc]

[tex][/tex]Takk for svar.

[tex]2*\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}*(6^2*\cos^2(2\theta) - \sqrt{3}^2) d\theta[/tex]

Blir dette riktig integral å regne ut da?

Fasit er for øvrig [tex]3\sqrt{3} - \pi[/tex]

[Gustav]

Ser riktig ut, mener jeg.

[efc]

Får ikke rett svar av det. Har prøvd å plotte det inn i wolframalpha som gir dette:

[tex]\left [ 15\theta + \frac{9}{2}\sin4\theta \right ]_{-\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{3} = 23.62[/tex]
(ekstraspm: Hva er koden for å få sånn bølgete = tegn? Som man skriver når man runder av)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +to+pi%2F3

Ser du hvor jeg kan ha gjort en feil?

[Gustav]

Integrasjonsgrensene dine er feil, ja. Skal vel være $\pm \frac{\pi}{6}$.

\approx = $\approx$