matematikk.net

Hei.

Jeg har slitt litt med en oppgave i tekstboken, og endte til slutt opp med å se i fasiten. Men selv etter å ha lest fasitsvaret flere ganger ser jeg ikke helt logikken. Oppgaven er som følger:

Suppose that [tex]\{V_j : j \in \mathbb{Z}\}[/tex] is a multiresolution analysis with scaling function [tex]\phi[/tex], and that [tex]\phi[/tex] is continuous and compactly supported. Given:

[tex]u(x) = \left\{\begin{array} {1 1} 1, & \quad 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \quad x < 0 \text{ or } x > 1. \end{array} \right.[/tex]

If [tex]\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) dx = 0[/tex], show that for all [tex]j[/tex] sufficiently large, [tex]\| u - u_j \| \geq \frac{1}{2}[/tex]

Hint: [tex]| \langle u, \phi_{j,k} \rangle| \leq 2^{-j/2} \int |\phi(y)| dy[/tex]

(Det kan også nevnes at [tex]\phi_{j,k} (x) = 2^{j/2} \phi(2^{j}x - k)[/tex] er den ortonormale basen for [tex]\phi[/tex])

Fasiten skriver som følger:

Suppose the support of [tex]\phi[/tex] is contained in the set [tex][-M, M][/tex]. As [tex]x[/tex] ranges over the interval [tex][0, 1][/tex], then [tex]2^{j}x - k[/tex] ranges over the interval [tex]2^{j}[0, 1] - k[/tex]. If this set is disjoint from the interval [tex][-M, M][/tex] or contains it, then [tex]\int_{0}^{1} \phi_{j,k} = \int_{R} \phi_{j,k} = 0[/tex]. Let [tex]Q[/tex] be the set of indices, [tex]k[/tex], where this does NOT occur. The number of indices in [tex]Q[/tex] is approximately [tex]2M[/tex]. Therefore, since [tex]u_j = \sum_{k} \langle u, \phi_{j,k} \rangle \phi_{j,k}[/tex] and using the hint given, we conclude that:

[tex]\|u_j \| \leq \sum_{k \in Q} | \langle u, \phi_{j,k} \rangle \|\phi_{j,k} \| \leq 2M2^{-j/2} \int_{R} |\phi(y)| dy[/tex]

since [tex]\|\phi_{j,k} \| = 1[/tex]. Note that the right side goes to zero as [tex]j \to \infty[/tex]. Therefore [tex]\|u - u_j \| \geq (1/2) \|u\| = 1/2[/tex] for large enough [tex]j[/tex].

Jeg er med på det meste av resonneringen her, men blir litt forvirret m.h.t. integralene. Jeg klarer ikke helt å forstå hva som menes med "If this set is disjoint from the interval [tex][-M, M][/tex] or contains it, then [tex]\int_{0}^{1} \phi_{j,k} = \int_{R} \phi_{j,k} = 0[/tex]". Kan noen være så snill å forklare intiusjonen bak hvorfor dette er slik? Jeg blir også litt forvirret av at oppgaveteksten skriver at [tex]\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) dx = 0[/tex]. Betyr ikke dette da at uttrykket [tex]2M2^{-j/2} \int_{R} |\phi(y)| dy[/tex] automatisk blir [tex]0[/tex] p.g.a integralet her?

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.

$\int_0^1 \phi_{j,k}\,dx=\int_0^1 2^{\frac j2} \phi (2^j x-k)\,dx$

Dersom $2^j [0,1]-k$ inneholder [-M,M], betyr det at integranden er 0 utenfor [0,1], altså er integralet det samme som å integrerer over hele R, og det blir da 0 fra betingelsen $\int_R \phi(x) \,dx = 0 $.

Dersom $2^j [0,1]-k$ er disjunkt fra [-M,M], betyr det at integranden i $\int_0^1 2^{\frac j2} \phi (2^j x-k)\,dx $, er 0 på hele intervallet man integrerer over, altså er $\int_0^1 2^{\frac j2} \phi (2^j x-k)\,dx = \int_0^1 0 \,dx =0$

svar på siste spørsmål: At $\int \phi (x) \,dx = 0$ betyr ikke nødvendigvis at $\int |\phi (x)| \,dx = 0$. Moteksempel er $\phi(x)=x$ på et intervall [-a,a]

Tusen takk for svar.

Jeg forstår helt fint alt du resonnerer her, bortsett fra første scenario - altså der hvor [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] er inneholdt i [-M, M]. Dersom vi vet at [-M, M] er støtten til [tex]\phi[/tex] (altså der hvor [tex]\phi \neq 0[/tex]), og [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] er inneholdt i [-M, M], så ser jeg ikke hvordan dette medfører at vi da integrerer over hele R. Iintergralet er jo definert nettopp fra 0 til 1. Slik jeg tolker fasiten, i lys av det du sier, så er det vel slik at det er [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] som inneholder [-M, M]. I og med at vi da integrerer over et større område enn [-M, M], så tilsvarer dette det samme som å integrere over hele R. Og da følger det av oppgaven at integralet blir 0. Stemmer ikke dette?

Alt det andre er jeg imidlertid 100 % med på . Tusen takk for dette!

krje1980 skrev: Jeg forstår helt fint alt du resonnerer her, bortsett fra første scenario - altså der hvor [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] er inneholdt i [-M, M]. Dersom vi vet at [-M, M] er støtten til [tex]\phi[/tex] (altså der hvor [tex]\phi \neq 0[/tex]), og [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] er inneholdt i [-M, M], så ser jeg ikke hvordan dette medfører at vi da integrerer over hele R. Iintergralet er jo definert nettopp fra 0 til 1. Kunne du vært så snill å utdype dette?

Dersom [tex]2^{j}[0,1] - k[/tex] inneholder [-M, M] betyr det at $\int_{-\infty}^0 \phi_{j,k}\,dx = 0$ og $\int_1^{\infty} \phi_{j,k}\,dx = 0$. Derfor kan vi legge til disse integralene:

$\int_0^1 \phi_{j,k}\,dx =0+\int_0^1 \phi_{j,k}\,dx + 0 = \int_{-\infty}^0 \phi_{j,k}\,dx + \int_0^1 \phi_{j,k}\,dx + \int_1^{\infty} \phi_{j,k}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_{j,k}\,dx=0$

edit: mener selvsagt "inneholder", ikke "inneholdt i"

krje1980 skrev: og med at vi da integrerer over et større område enn [-M, M], så tilsvarer dette det samme som å integrere over hele R. Og da følger det av oppgaven at integralet blir 0. Stemmer ikke dette?

Jo, det stemmer.

Tusen takk! Jeg setter veldig stor pris på hjelpen!