matematikk.net

Hei.

Jeg sliter litt med å se logikken i et resonnement i en lærebok jeg har for tiden. Først har vi følgende definisjon:

Let [tex]V_j[/tex], [tex]j = . . .-2, -1, 0, 1, 2, . . .[/tex] be a sequence of subspaces of functions in [tex]L^{2}(R)[/tex]. The collection of spaces [tex]\{V_j, j \in Z \}[/tex] is called a multiresolution analysis with scaling function [tex]\phi[/tex] if the following conditions hold.

1. (Nested) [tex]V_j \subset V_{j+1}[/tex]
2. (Density) [tex]\overline{\cup V_j} = L^{2}(R)[/tex]
3. (Separation) [tex]\cap V_j = \{0\}[/tex]
4. (Scaling) The function [tex]f(x)[/tex] belongs to [tex]V_j[/tex] if and only if the function [tex]f(2^{-j}x)[/tex] belongs to [tex]V_0[/tex]
5. (Orthonormal basis) The function [tex]\phi[/tex] belongs to [tex]v_0[/tex] and the set [tex]\{\phi(x - k), k \in Z \}[/tex] is an orthonormal basis (using the [tex]L^2[/tex] inner product) for [tex]V_0[/tex]

Det er egentlig bare et aspekt av nummer 3 på denne listen jeg egentlig har et spørsmål om (altså separasjon). Boken beviser nemlig at Haar scaling funksjonen oppfølger disse kriteriene (Haar scaling funksjonen, [tex]\phi(x)[/tex] er definert som at den er 1 når 0 ≤ x < 1, og 0 alle andre steder). Jeg forstår imidlertid ikke helt resonnementet som brukes for å bevise at denne funksjonen oppfyller separasjonskriteriet. Boken skrivr:

To discuss the separation condition first note that [tex]j[/tex] can be negative as well as positive in the definition of [tex]V_j[/tex]. If [tex]f[/tex] belongs to [tex]V_{-j}[/tex] for [tex]j > 0[/tex], then [tex]f[/tex] must be a finite linear combination of [tex]\{\phi(x/2^j - k), k \in Z\}[/tex] whose elements are constant on the intervals [tex]. . .[-2^j , 0), [0, 2^j ), . . .[/tex]. As [tex]j[/tex] gets larger, these intervals get larger. On the other hand, the support of [tex]f[/tex] (i.e., the set where [tex]f[/tex] is nonzero) must stay finite. So if [tex]f[/tex] belongs to all the [tex]V_{-j}[/tex] as [tex]j \to \infty[/tex], then these constant values of [tex]f[/tex] must be zero.

Jeg klarer ikke helt å se for meg hvorfor den aller siste setninger her må være sann. Er det fordi etter hvert som et intervall går mot uendelig størrelse, så vil [tex]f[/tex] måtte være 0 her, ellers så oppfylles ikke kravet om finiteness? Eller er det slik at fordi intervallet går mot uendelig, så vil antallet verdier [tex]f[/tex] kan ha innenfor dette settet [tex]V_{-j}[/tex] bli så begrenset, at når antall sett går mot uendelig, så er det kun verdien 0 som vi vet vil kunne være til stede i alle sett? Eller har jeg misforstått her? Dersom noen kan forklare intuisjonen bak det boken skriver her, så vil jeg være svært takknemlig!

EDIT:

Jeg tror kanskje jeg har funnet en løsning på det jeg synes var uklart.

Hele definisjonen baserer seg på at alle underrommene består av funksjoner i [tex]L^{2}(R)[/tex] - altså må [tex]\int_{a}^{b} |f(x)|^2 dx < \infty[/tex]. Dersom vi har intervallet [tex][0, 2^j ][/tex] ser vi at når [tex]j \to \infty[/tex], så er det kun funksjonen [tex]f(x) = 0[/tex] som oppfyller kravet om å være en konstant funksjon i [tex]L^2 (R)[/tex]. For alle andre underrom, vet vi at de har finite support - altså vet vi at i alle disse underrommene vil [tex]f[/tex] også ta verdien [tex]0[/tex] for visse verdier av [tex]x[/tex]. Dermed ser vi at [tex]\cap V_j = \{0\}[/tex].

Er dette riktig resonnert? Setter stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte dette.

Det er et par ting jeg stusser litt over i sitatene fra boka. Hvorfor må f(x) være en endelig lineærkombinasjon, og hvorfor må f(x) ha endelig support? Det er ikke vanskelig å finne funksjoner som ikke har endelig support, men som er med i $L^2(R)$ og som kan skrives som en uendelig lineærkombinasjon av Haar scale-funksjoner. Mulig det bare er jeg som har oversett noe...

Dersom vi nå antar at alle lineærkombinasjoner må være endelig, virker det som det du sier er riktig i alle fall.

Eksempel: $f(x)\in V_{-1}$ dersom $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\phi(\frac{x}{2}-k)$, $\int |f|^2dx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^2}<\infty$ men f(x) har åpenbart ikke endelig support.

Takk for svar, plutarco. Når det gjelder det du lurer på, så kan jeg ikke gi noen klare svar på dette (altså hvorfor boken har dette kravet om endelighet). Dette er helt nytt stoff for meg, og det har ikke helt sunket inn enda. Men setter stor pris på innspillet!