matematikk.net

Hei.

Jeg står litt fast på følgende oppgave:

Let [tex]n[/tex] be a positive integer, and let [tex]f[/tex] be a continuous function defined on [tex][0,1][/tex]. Let [tex]h_k (t) = \sqrt{n} \phi(nt - k)[/tex], where [tex]\phi(t)[/tex] is the Haar scaling function (which is [tex]1[/tex] on the interval [tex][0,1)[/tex] and zero elsewhere). Form the [tex]L^2[/tex] projection of [tex]f[/tex] onto the span of the [tex]h_k[/tex]'s,

[tex]f_n = \langle f,h_0 \rangle h_0 + . . . + \langle f, h_{n-1} \rangle h_{n-1}[/tex]

Show that [tex]f_n[/tex] converges uniformly to [tex]f[/tex] on [tex][0,1][/tex].

OK, så jeg har gjort følgende hittil:

[tex]\langle f, h_k \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sqrt{n} \phi(nt - k) dt[/tex]

Ettersom [tex]\phi (nt - k)[/tex] har verdien 1 på intervallet [tex][k/n, k/n + 1/n][/tex] og 0 alle andre steder, får vi:

[tex]\langle f, h_k \rangle = \sqrt{n} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(t) dt[/tex]

[tex]\langle f, h_k \rangle h_k = n \phi(nt - k) \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(t) dt[/tex]

Så:

[tex]f_n = n \sum_{k=0}^{n-1} \left( \phi(nt - k) \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(t) dt \right)[/tex]

Jeg er imidlertid ikke helt sikker på om resonneringen min over er helt korrekt. Og hvis det er korrekt, så sliter jeg litt med hvordan jeg så kan bevise uniform konvergens. Jeg må jo vise at for hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det et tall [tex]N[/tex] slik at for alle [tex]t[/tex] og alle [tex]n \geq N[/tex] så vil [tex]|f_n - f| < \epsilon[/tex]. Men ser ikke helt hvordan jeg kan angripe dette. Jeg må jo bevise at:

[tex]|n \sum_{k=0}^{n-1} \left( \phi(nt - k) \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(t) dt \right) - f(t)| < \epsilon[/tex]

Dersom noen har noen tips til hvordan jeg kan angripe dette, eller eventuelt ser noen feil i resonneringen min hittil, så vil jeg sette enormt pris på det!

Kan være en fordel å analysere uttrykket du har fått litt nærmere:

Dersom $0\leq t< \frac1n$ blir vel $f_n(t)=n\int_0^{\frac1n} f(s)ds$, For $\frac1n\leq t<\frac2n$ blir $f_n(t)=n\int_{\frac1n}^{\frac2n}f(s)ds$ etc.

Se på en bestemt verdi av t i intervallet [0,1]. Det som skjer når vi øker n er at vi partisjonerer [0,1] på en finere og finere måte i delintervaller $[0, \frac1n], [\frac1n,\frac2n], ... , [\frac{n-1}{n}, 1]$. For hver $n$ må det videre fins en $k_n$ slik at t ligger i $[\frac{k_n}{n}, \frac{k_n+1}{n})$, og vi får at $f_n(t)=n\int_{\frac{k_n}{n}}^{\frac{k_n+1}{n}}f(s)ds$.

Videre hint: Bruk at kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder er uniformt kontinuerlige.

Takk! Jeg skal se nærmere på det.