Konsentrasjon av medisin i blodet. Trenger litt hjelp her :)

[PR]

Konsentrasjon av medisin i blodet etter (t) timer er gitt ved

C(t)= 5t/t^2+5

5t over brøkstreken og t i andre pluss 5 under.

1. Ved hvilket tidspunkt er konsentrasjonen maksimal?
2. Hva skjer med konsentrasjonen når (t) blir stor? Begrunn svar.
3. Ved hvilket tidspunkt er konsentrasjonen halvparten av det maksimale.


--- Kan noen smarte folk hjelpe meg?

[Solar Plexsus]

1) Ved derivasjon får du at

C´(t) = 5[(t)´(t[sup]2[/sup] + 5) - t(t[sup]2[/sup]+ 5)`] /(t[sup]2[/sup] + 5)[sup]2[/sup] = 5[1[sub]*[/sub](t[sup]2[/sup] + 5) - t[sub]*[/sub](2t)] /(t[sup]2[/sup] + 5)[sup]2[/sup] = 5(5 - t[sup]2[/sup]) / (t[sup]2[/sup] + 5)[sup]2[/sup]

Av den deriverte ser vi at C(t) er maksimal når t=[rot][/rot]5.

2) C(t) = 5t/(t^2 + 5) = 5/(t + (5/t)) (når t<>0)

Vi ser at når t->uendelig, vil nevneren t + (5/t)->uendelig. Altså vi C(t)->0 når t->uendelig.

3) Her må du løse likningen C(t)=C([rot][/rot]5)/2, dvs.

5t/(t[sup]2[/sup] + 5) = [rot][/rot]5/4.

[PR]

Kan du forklare hvordan du fikk 5(5 - t^2) / (t^2 + 5)^2 til a bli √5.

Og hvorfor skal det deles på 4 i siste oppgave?


----Takk for hjelpen

[Solar Plexsus]

For å finne maksimalverdien løser du likningen C´(t)=0, dvs.

5(5 - t[sup]2[/sup]) / (t[sup]2[/sup] + 5)[sup]2[/sup] = 0

Dette gir 5 - t[sup]2[/sup] = 0, så t=-[rot][/rot]5 eller t=[rot][/rot]5. Siden t>0, kan vi se bort fra den negative løsningen t=-[rot][/rot]5. Vha. av fortegnsskjema kan du vise at t=[rot][/rot]5 gir et maksimumspunkt for C(t). Maksimumsverdien blir

C([rot][/rot]5) = 5[sub]*[/sub][rot][/rot]5 / (([rot][/rot]5)[sup]2[/sup] + 5) = 5[sub]*[/sub][rot][/rot]5 / (5 + 5) = 5[sub]*[/sub][rot][/rot]5 / (2*5) = [rot][/rot]5/2.

Så når du skal finne den verdien av t som gir en konsentrasjon på halvparten av det maksimale, må du løse likningen

C(t) = C([rot][/rot]5)/2 = ([rot][/rot]5/2)/2 = [rot][/rot]5/4, dvs. at

5t/(t[sup]2[/sup] + 5) = [rot][/rot]5/4.