Grenser og den deriverte

[fugmag]

Er det noen som har peiling på hvordan man løser en slik oppgave:

lim (x->0) (1/x) - (1/xe^2x)

?

Substitusjon?

fugmag

[Solar Plexsus]

lim (x->0) (1/x) - (1/xe[sup]-2x[/sup])

= lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup]) / x

= lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup])´ / (x)´ (bruker L´Hopitals regel)

= lim (x->0) 2e[sup]-2x[/sup] / 1 = 2e[sup]0[/sup] = 2.

[fugmag]

men det står xe^2x, ikke xe^-2x som du skrev.

[fugmag]

men det blir jo faktisk bare motsatt på sluten der med:
-2e^2x / 1 (hvor du skrev 2e^-2x).
greit nok det.
men hvordan ble -2e^2x til 2e^0????

fugmag

[Solar Plexsus]

Grenseverdien lim (x->0) 2e[sup]-2x[/sup] er jo helt triviell å beregne fordi her kan du bare sette inn 0 i stedet for x i uttrykket 2e[sup]-2x[/sup]. Følgelig blir

lim (x->0) 2e[sup]-2x[/sup] = 2e[sup]-2[sub]*[/sub]0[/sup] = 2e[sup]0[/sup] = 2[sub]*[/sub]1 = 2.

[my]

lim (x->0) (1/x) - (1/xe[sup]-2x[/sup])

= lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup]) / x

= lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup])´ / (x)´ (bruker L´Hopitals regel)

= lim (x->0) 2e[sup]-2x[/sup] / 1 = 2e[sup]0[/sup] = 2.

Jeg lurer på et par ting; har regnet ut samme oppgave og selv om jeg får samme svar som deg så skjønner jeg ikke utregningen din. Hvordan kommer du frem til dette (med bare "x" som nevner):

lim (x->0) (1/x) - (1/xe[sup]-2x[/sup])

= lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup]) / x

Vil forøvrig bemerke at oppgaven er

lim (x->0) (1/x) - (1/xe[sup]2x[/sup])

...mao ikke e[sup]-2x[/sup], noe som gjør at jeg syns det er veldig mystisk at vi får samme svar

Min egen utregning er som følger:

lim (x->0) (1/x) - (1/xe[sup]2x[/sup])

= lim (x->0) (e[sup]2x[/sup] - 1)/(xe[sup]2x[/sup])

L'H: = lim (x->0) (2e[sup]2x[/sup])/(e[sup]2x[/sup] + 2xe[sup]2x[/sup]) = 2/1 = 2.

[Solar Plexsus]

Med 1/xe[sup]2x[/sup] regner jeg at du mener brøken med 1 som nevner og xe[sup]2x[/sup] som teller. Den første linjen i min beregning av denne grenseverdien skal altså være (som du påpeker)

lim (x->0) (1/x) - (1/(xe[sup]2x[/sup])) = lim (x->0) (1 - e[sup]-2x[/sup]) / x ....

For øvrig er din måte å bruke L´Hopitals regel på helt korrekt. Forskjellen mellom din og min fremgangsmåte er at du har multiplisert teller og nevner med e[sup]2x[/sup] før du anvender L´Hopitals regel. Men resultatet blir det samme. Det er ikke så rart. I denne oppgaven har vi en grenseverdi av formen

M[sub]1[/sub] = (lim x->a) f(x)/g(x)

der f(a)=g(a)=0, f´(a)<>0 og g´(a)<>0.

Ifølge L´Hopitals regel blir M[sub]1[/sub]=f´(a)/g´(a).

La oss nå de på grenseverdien

M[sub]2[/sub] = (lim x->a) [f(x)h(x)] / [g(x)h(x)]

der h(a)<>0. (I oppgaven ovenfor er a=0, f(x)=1 - e[sup]-2x[/sup], g(x)=x og h(x)=e[sup]2x[/sup]). Vha. av L´Hopitals regel får vi at

M[sub]2[/sub] = (lim x->a) [f(x)h(x)]´ / [g(x)h(x)]´
= (lim x->a) [f´(x)h(x) + f(x)h´(x)] / [g´(x)h(x) + g(x)h´(x)]
= [f´(a)h(a) + f(a)h´(a)] / [g´(a)h(a) + g(a)h´(a)]
= [f´(a)h(a) + 0[sub]*[/sub]h´(a)] / [g´(a)h(a) + 0[sub]*[/sub]h´(a)] (f´(a)=g´(a)=0)
= [f´(a)h(a)] / [g´(a)h(a)]
= f´(a)/g´(a) (h(a)<>0)
= M[sub]1[/sub] q.e.d.

[my]

Nok en gang viser det seg at det er de pinlig elementære ting jeg ikke får med meg... Jeg skjønte ikke hvor du fikk e[sup]-2x[/sup] fra, og antok det var en skrivefeil siden du hadde den leifen i første linje. Men etter å ha rådført meg med formelsamlingen min skjønte jeg hvordan

1/(xe[sup]2x[/sup]) = (1/x) * 1/(e[sup]2x[/sup]) = (1/x) * e[sup]-2x[/sup] = (e[sup]-2x[/sup])/x

Dermed føler jeg meg både teit og flink på en gang

Takk for tilbakemeldingen, når hodet mitt slutter å true med å eksplodere skal jeg studere beviset ditt også