matematikk.net

Lurte på hvordan man løser denne oppgaven: [tex]M_2(\mathbb{Z}_7)[/tex] er alle 2x2-matriser over [tex]\mathbb{Z}_7[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_7[x][/tex] er polynomringen over [tex]\mathbb{Z}_7[/tex].

Homomorfien [tex]\phi: \mathbb{Z}_7[x] \to M_7(\mathbb{Z}_7)[/tex] er gitt ved [tex]\phi(f) = f \left( \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \right)[/tex]. Finn kernen til [tex]\phi[/tex].

Kjernen er selvfølgelig alle polynomer over Z_7 som sender denne spesifikke matrisen på nullmatrisen, men hvordan finner jeg denne mengden mer eksplisitt? Så det sto et eller annet med et ideal av et bestemt polynom i LF og en determinant, men skriften var så vanskelig å tyde at jeg ikke fikk noe ut av det. Halp?

Finn det polynomet av lavest grad som er medlem av kernen. Da er kjernen utspent av dette polynomet fordi [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] er en PID.

La matrisen være A. Merk at [tex]A^2=\left(\begin{matrix} 4 & 4 \\ 4 & 8 \end{matrix}\right)[/tex], slik at [tex]-2A+A^2=5A+A^2=4I[/tex].

Altså er [tex]3+5x+x^2[/tex] i kjernen. Nå må du ar vise at det ikke finnes noe første ordens polynom i kjernen, så er du ferdig.

Det du leste om determinant handler antakeligvis om det karakteristiske polynomet til matrisen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley–Hamilton_theorem

Da får du at det[tex](A-\lambda I) = \lambda^2 - 2\lambda - 4[/tex].

Du ønsker å finne minimalpolynomet.
http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_polynomial

Siden det karakteristiske polynomet er irredusibelt (sette inn 0 til 6), så er det lik minimalpolynomet.

Ok, takk for hjelpen begge to. Tror ikke de metodene dere presenterte er pensum i år, vet du noe om det espen180? (siden du også tar faget)

Tror ikke UFD-er og PID-er er pensum, men vi har hatt litt om Euklidske domener, og et Euklidsk domene er automatisk både et UFT og PID, så det kan være greit å kunne disse egenskapene.

Foreleseren har forøvrig lagt ut en oppsummering av pensum på fagets hjemmeside.

Synd det ikke var pensum :p
Skjønner at du ikke vil se på det nå i eksamensperioden, men hvis du fortsetter med matematikk så vil du ganske sikkert møte på Cayley-Hamilton og minimalpolynomer igjen.

Husker jeg selv hadde problemer med å lese skriften til en foreleser i algebra. Det er vel ikke tilfeldigvis Sverre Smalø som har skrevet det?

Har hørt litt om Cayley-Hamilton-teoremet tidligere, veldig interessant teorem. Jepp, er Smalø

@espen180: Fant ikke noe om hverken euklidske domener eller UFD'er og PID'er i oppsummeringen. Kan kun huske at det så vidt ble nevnt da Bakka foreleste.

Ja, det kan hende. Skal du forresten ta ringer og moduler neste semester?

Kommer an på hvordan det går i morgen. Er førstis og tar algebra litt tidligere enn vanlig i studieprogresjonen, så jeg synes nok det har vært litt ekstra utfordrende. Hvis det går dårlig tar jeg nok heller lineære metoder.

Hva med deg? Ble litt overrasket da jeg fant ut at du tok algebra dette halvåret, med det nivået du gir inntrykk av å ligge på her i forumet trodde jeg du hadde blitt ferdig med slike grunnkurs for lengst.

Takk for smigeren. =)

Jeg tror jeg skal ta både ringer og moduler og lineære metoder neste semester.