matematikk.net

Sliter litt med å forstå nøyaktig hva boken mener angående dette temaet. Den sier at en utvidelse E av F er normal dersom E oppfyller et av disse ekvivalente utsagnene:
La E være en algebraisk utvidelse av en kropp F inneholdt i en algebraiske tillukning [tex]\bar{F}[/tex] av F.
1)
Alle irredusible (irreduserbare?) polynomer i F[x] som har en rot i E splitter til lineære faktorer i E.
2)
E er "a splitting field" for en familie polynom i F[x]
3)
Enhver embedding [tex]\sigma[/tex] av E i [tex]\bar{F}[/tex] som holder ethvert element i F fiksert sender E på E (altså, at sigma er en automorfi på E).

Problemet mitt er 1). Hva er galt med dette "moteksempelet"?
La F=Q og se på polynomet [tex]f(x)=(x^2-2)(x^2+2)[/tex] og la [tex]E=F(\sqrt{2})[/tex]. Da splitter ikke f(x) til lineære faktorer i E siden [tex]x^2+2[/tex] fortsatt er irredusibel og av grad 2.
Derimot ser jeg jo at minimalpolynomet til roten [tex]\sqrt{2}[/tex] splitter over E. Hva er sammenhengen her, og hva er gjort feil?

Polynomet f er ikke irredusibelt over [tex]\mathbb Q[/tex].

Ah. Flaut. Såklart. Takk!

Oppfølgerspørsmål:
Dersom vi lar F=Q og E=R, så vil E være "a splitting field" for en familie polynom i Q[x], nemlig:
[tex]x^2-2, x^2-3, x^2-5, \cdots[/tex]. R er derfor normal over Q.

Derimot finnes det et irreduserbart polynom i Q[x] med en rot i R som ikke splitter til lineære faktorer i R. Nemlig [tex]x^3-2[/tex]. Denne har en reell rot, og to komplekse, så derfor er ikke R normal over Q.

Hvor er feilen?

Er litt rusten på dette her, men jeg tror du tar feil når du sier at [tex]\mathbb{R}[/tex] er splittkroppen til noen av de polynomene. For at en kropp skal være splittkroppen til et (eller flere) polynom holder det ikke bare at polynomet splitter i linære faktorer. Røttene må også generere kroppen. M.a.o det du sier er at

[tex]\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\dots)[/tex],

noe som ikke er sant. I ditt konkrete tilfelle er splittkroppen til [tex]x^3-2[/tex]

[tex]\mathbb{Q}(2^{1/3},\alpha)[/tex] hvor [tex]\alpha[/tex] er en kompleks rot av [tex]x^2+2^{1/3}+2^{2/3}[/tex].

Det har du nok helt rett i. Takk!