Ligningen for en nivåflate til funksjonen i et punkt

[Bentebent]

Jeg har gitt følgende funksjon, g(x,y,z) = [symbol:sum] fra n=0 til inf. av

(x + y)^n
------------
n! * z^n

i punktet (ln 2, ln 4,3), og oppgaven er å finne ligningen
for nivåflaten som funksjonen danner. Jeg tenkte at jeg
måtte finne grenseverdien til summen og deretter sette inn verdiene, men jeg får summen til å gå mot 0, og dette stemmer ikke med fasit (3).

[Vektormannen]

Hvilken nivåflate er det snakk om da?

EDIT: Skal du regne ut [tex]v = g(\ln 2, \ln 4, 3)[/tex] og deretter finne nivåflaten [tex]g(x,y,z) = v[/tex]?

For å regne ut [tex]g(\ln 2, \ln 4, 3)[/tex] kan du i såfall gjenkjenne at [tex]\sum_{n = 0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n! z^n} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{\left(\frac{x+y}{z}\right)^n}{n!}[/tex] har en litt spesiell form. (Hint: Taylorrekke.)

[Bentebent]

Jeg antar at det er det jeg blir bedt om, v = g(ln2, ln4, 3).

(x+y)/z = ln2. Taylorrekka sier at jeg får ..

= f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ...

Men siden andre ledd og utover har derivert lik null vil kun f(a) være gjeldende! Det medfører at svaret blir ln 2, som for øvrig også stemmer med fasit!

(jeg får a = (x+y)/z = 3*ln2 / 3 = ln 2 ) Stemmer metoden? Litt dumt om jeg kommer frem til riktig svar vha. feil metode

[Vektormannen]

Det jeg mente var egentlig å gjenkjenne at [tex]\sum_{n = 0}^\infty \frac{\left(\frac{x+y}{z}\right)^n}{n!} = e^{\frac{x+y}{z}}[/tex]. Da får du i midlertid [tex]g(\ln 2, \ln 4, 3) = e^{\ln 2} = 2[/tex], som ikke stemmer med fasit (?). Det kan være jeg misforstår oppgaven. Sier fasiten 2 eller ln 2 som svar? Hvilken Taylorrekke er du skriver opp der? Hva er funksjonen f for noe?

[Bentebent]

Svaret skal bli ln2. Det jeg skrev opp var taylorrekka for funksjonen g(x), men jeg tror ikke jeg gjorde noe lovlig her.

Let f be a function with derivatives of all orders throughout some interval containing a as an interior point. Then the Tayloer Series generated by f at x = a is

[symbol:sum] k=0 -> inf. f^(k)(a)/k!*(x-a)^k = f(a) + f'(a)*(x-a) + ... men det stemmer ikke for min funksjon uansett, jeg så ikke helt nøye gjennom teoremet, som for øvrig stod på side 554 i calculus 1 (nyeste utgave).

f^(k) der k er antall deriverte, for k € [0, inf)
Men svaret skal bli ln 2 på en eller annen måte. Beklager misforståelsene.

[Vektormannen]

Kan du gjengi akkurat hva fasiten sier? Nivåflaten blir slik jeg ser det gitt ved ligningen [tex]\frac{x+y}{z} = \ln 2 \ \Leftrightarrow \ x+y - \ln 2 z = 0, z \neq 0[/tex] (altså et plan), men funksjonsverdien i punktet må da bli 2, ikke ln 2?

[Bentebent]

Oppgaven lyder:

Find an equation for the level surface of the function through the given point (ln2, ln4, 3)

g ( x, y, z ) = [symbol:sum] fra n = 0 til inf av

(x+y)^n / (n ! * z^n)

Fasit sier:

(x+y)/z = ln 2

[Vektormannen]

Ok, da er vi enige da!
Beklager at jeg misforsto deg. Er det noe om oppgaven du lurer på nå? Trikset er altså å gjenkjenne rekken som Taylorrekken til [tex]e^x[/tex] om x = 0. (Hvis det er én Taylorrekke man bør huske så er det den )

[Bentebent]

Ah, slik at svaret skal bli 2 likevel?

Fordi [symbol:sum] fra n=0 til inf av et uttrykk (u)^n/n! kan skrives om til e^(u), der u = ln2, og e^(ln2) = 2?? Må bare være helt sikker på at jeg skjønte hva som skjedde her! hehe

[Vektormannen]

Svaret er ikke 2 eller ln 2, det er ligningen [tex]\frac{x+y}{z} = \ln 2[/tex] for nivåflaten. Funksjonsverdien på flaten er 2 (men det var ikke det de spurte etter, og det var der jeg misforsto.)

Det er helt riktig som du sier at hvis du har en uendelig sum av noe (som du kan kalle u) som er opphøyd i n og delt på n! så er den summen det samme som [tex]e^u[/tex]. Det kan være lurt å huske på det.

[Bentebent]

Ok! Beklager all forvirringen her altså! Takker og bukker for hjelpen!