Vanskelig integral

[krje1980]

Har støtt på et vanskelig integral som jeg setter pris på litt hjelp til. Integralet dukker opp et stykke ut i en oppgave, men frem til dette har jeg fått til det jeg trenger. Jeg vet jeg har gjort liknende integraler for lenge siden, men teknikkene har gått i glemmeboken. Så om noen kan sparke meg litt i gang (Nebu?), så ville det vært fint . Endte opp med å kjøre uttrykket gjennom Wolframalpha for å komme meg videre i oppgaven, og vet at integralet gir riktig svar.


Regn ut:

[tex]\int_{0}^{2\pi} (a^2 {cos^2 t} - 1)(a^2 {cos^2 t} - 6)({sin^2 t} )dt[/tex]

[anlif]

kanskje residueregning er triks?

Med substitusjonen [tex]z = e^{it}[/tex] får du et komplekst polynom som kan integreres rundt en lukket kurve (ettersom grensene er fra 0 til 2 pi)

[krje1980]

Hm, det kan funke, ja. Husker jeg hadde dette i kompleks funksjonsteori våren 2011. Får kanskje slå opp i pensumboken fra dette kurset for å friske opp denne typen integrasjon!

[Per Spelemann]

En «nødløsning» kan være å gange ut parentesene og bruke integral-tabeller til å bl.a. finne:

[tex]\int_0^{2\pi} a^4 \cdot \cos^4 t \cdot \sin^2 t \text{ d} t[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Så så, rolig nå karer. Er vel ikke nødvendig med kompleks funksjonalteori her =) (Selv om det dog kan gjøre integralet lettere)

Prøvde meg med et par luddige omskrivninger, men kom frem til at detPer sier nok er det letteste.

Dersom vi kaller integranden for f(t) kan vi for eksempel legge merke til at

[tex]\int_{0}^{2\pi} f(t) \mathrm{d}t \, = \, 2\int_{0}^{\pi} f(t) \mathrm{d}t \, = \, 4\int_{0}^{\pi/2} f(t) \mathrm{d}t \, = \, [/tex]

På grunn av symmetri (Dette kan også bli vist ved å bruke identiteten

[tex]\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} g(a + b - x) \, \mathrm{d}x [/tex]

to ganger. Som igjen er det samme som å vise symmetri)

Men dog er dette mer en kuriositet enn faktisk spesielt nyttig i dette tilfellet.

Etter å ha skrevet ut integralet får vi

[tex]\int_{0}^{2 \pi} \sin(t)^2 a^4 \cos(t)^4 \ - \ 7\sin(t)^2 a^2\cos(t)^2 \ + \ 6\sin(t)^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

En sjekk huskeregel, som kanskje ikke er spesielt intuitiv. Eller bra å lære vekk.

!!!
Er at dersom en integrerer [tex]\sin(x)^2[/tex] og [tex]\cos(x)^2[/tex] over et helt antall perioder, er dette det samme som å integrere 1. Integrerer vi over en halv periode, er dette det samme som å integrere 1/2. Altså
!!!

[tex]\int_{0}^{2\pi} 6\sin(t)^2 \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{2\pi} 6\cdot1 \, \mathrm{d}t = 6\pi[/tex]

Mens over en halv periode hadde vi fått
[tex]\int_{0}^{\pi} 6\sin(t)^2 \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\pi} 3\cdot 1 \, \mathrm{d}t = 3\pi[/tex]

Grunnen til dette er ganske "åpenbar" om en ser på [tex]\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1[/tex] og tenker litt. Men det lar jeg stå som en "utfordring" til deg å vise.

Neste integralet blir nesten det samme

[tex]-7a^2 \int_{0}^{2 \pi} \left[ \sin(t) \cos(t) \right]^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

[tex]-\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{2 \pi} \sin(2t)^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

Nå, dersom vi bruker den relativt ukomplisert substitusjonen x=2t, oppnås

[tex]-\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{\pi} 2\sin(t)^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

Og nå integrer vi [tex]\sin(x)^2[/tex] over en halv periode, slik at dette er det samme som å integrere 1/2, nå får vi endelig

[tex]\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{\pi} 2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}t = \frac{7}{4}a^2 \pi[/tex]

Nå gjennstår bare det koseligste integralet. Som egentlig ikke er så mye styr... Bare litt kjedelig

[tex]\int_0^{2\pi} \sin(t)^2 a^4 \cos(t)^4 \, \mathrm{d}x[/tex]

Vi gjør omskrivningen [tex]\sin(t)^2 \cos(t)^2=\frac{1}{4}\sin(2t)^2[/tex]

[tex]I_3 = a^2\frac{1}{4} \left[ \sin(2t) \cos(t) \right]^2 [/tex]

Bruker vi nå at [tex]2 \sin(n) \cos(m) = \sin(n-m) + \sin(n+m)[/tex](Formelen står greit på side 88 i rottman, eller vi bare husker den :p)

[tex]I_3 = a^2\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}(\sin(t) + \sin(3)t )\right]^2 [/tex]
[tex]I_3 = \frac{a^2}{32} (cos(2 t)-2 cos(4 t)-cos(6 t)+2) [/tex]

Siste uttrykket her, er heldigvis veldig lett å integrere. Men nå begynner det å bli sent. Vet ikke hvor mye integralteori, du trenger å kunne. Men her er det også veldig behagelig å bare slå opp i rottman

[mstud]

...
[tex]-\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{2 \pi} \sin(2t)^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

Nå, dersom vi bruker den relativt ukomplisert substitusjonen x=2t, oppnås

[tex]-\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{\pi} 2\sin(t)^2 \, \mathrm{d}t [/tex]

...

Du mener vel:

Nå, dersom vi bruker den relativt ukomplisert substitusjonen x=2t, oppnås

[tex]-\frac{7}{4}a^2 \int_{0}^{\pi} 2\sin(x)^2 \, \mathrm{d}x [/tex]


Ellers flott arbeid, blir like imponert hver gang jeg ser på integralkunstene dine...

[krje1980]

Tusen takk for hjelpen, folkens! Ser at jeg virkelig må friske opp gamle integralteknikker! Prøvde å gå veien om det komplekse planet, men også her ble det et svært omfattende uttrykk å jobbe med.