Hei. Jobber iherdig med å pugge til eksamen i reell analyse. Det er en liten del av teorem 2.37 jeg lurer litt på. Prøveeksamen i går gikk ikke på langt nær så bra som den burde, så jeg har mye arbeid foran meg de neste to ukene! Teoremet lyder:
If [tex]E[/tex] is an infinite subset of a compact set [tex]K[/tex], then E has a limit point in [tex]K[/tex].
PROOF
If no point of [tex]K[/tex] were a limit point of E, then each [tex]q \in K[/tex] would have a neighborhood [tex]V_q[/tex] which contains at most one point of [tex]E[/tex] (namely, [tex]q[/tex], if [tex]q \in E[/tex]). It is clear that no finite subcollection of [tex]\{V_q\}[/tex] can cover [tex]E[/tex]; and the same is true of [tex]K[/tex], since [tex]E \subset K[/tex]. This contradicts the compactness of [tex]K[/tex].
Her er jeg egentlig med på det meste av argumentasjonen, men her gjør Rudin også det som er typisk for en del forfattere - han skriver "It is clear that. . ." når jeg faktisk er litt usikker på nøyaktig hvorfor noe er "clear".
Så altså - nøyaktig hvorfor er det slik at settet vi beskriver over ikke kan ha noe finite subcover? Er det fordi vi vet at E er uendelig, og at siden vi nå får et uendelig antall punkter, [tex]q[/tex], så vil vi ikke kunne finne et finite subcover? Men samtidig vil jo f.eks. et hvert kompakt sett i [tex]\mathbb{R}[/tex] også inneholde et uendelig antall punkter (ettersom [tex]\mathbb{R}[/tex] jo er komplett), så hva er det som gjør at vi i dette tilfellet ikke kan oppfylle kriteriet for kompakthet?
Setter stor pris på om noen kort kan forklare meg dette!
Kort spørsmål om teorem i Rudin
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
{V_q} er en åpen overdekning av K, og dermed E. K er kompakt, så det finnes en endelig mengde V_q_1, V_q_2, ..., V_q_n som dekker K, og dermed E. Men siden V_q snitter E tomt eller i {q}, betyr det at E er en undermengde av {q_1,...,q_n}, noe som er umulig.
Kompakte mengder i R har ingen uendelige undermengder uten grensepunkt, så det er ikke et moteksempel.
Kompakte mengder i R har ingen uendelige undermengder uten grensepunkt, så det er ikke et moteksempel.