Side 1 av 1
Tangentlinjer
Lagt inn: 24/09-2005 11:13
av VADA
En kurve i planet består av de punktene (x,y) som tilfredsstiller ligningen
x^3 - 3xy + y^3 = 3
Punktet (x,y) = (-1,1) ligger på denne kurven, og har en horisontal
tangentlinje y = 1.
Kurven har ett punkt til med horisontal tangentlinje. Finn dette punktet!
Jadda... Hvordan gjør jeg det da?
Lagt inn: 27/09-2005 00:32
av Gjest
Du må bruke implisitt derivasjon m.h.p. x på likningen for kurven:
(x[sup]3[/sup])´- 3(xy)´+ (y[sup]3[/sup])´ = (3)´
3x[sup]2 [/sup] - 3(x)´y - 3xy´ + 3y[sup]2[/sup]y´= 0
(*) x[sup]2 [/sup] - y - xy´ + y[sup]2[/sup]y´= 0.
Vi ønsker å finne de punktene på kurven med horisontal tangent, dvs. punkter der stigningtallet y´= 0. Settes dette inne i identiteten (*) ovenfor, får vi at x[sup]2[/sup] - y = 0. Så y=x[sup]2[/sup], som innsatt i likningen for kurven (x[sup]3[/sup] - 3xy+ y[sup]3[/sup] = 3) gir x[sup]3[/sup] - 3x*x[sup]2[/sup]+ (x[sup]2[/sup])[sup]3[/sup] = 3. Så x[sup]6[/sup] - 2x[sup]3[/sup] - 3 = 0 som kan faktoriseres til (x[sup]3[/sup]+1)(x[sup]3[/sup]-3) = 0. Dette medfører at x[sup]3[/sup]=-1 eller x[sup]3[/sup]=3, dvs.at x=(-1)[sup]1/3[/sup]=-1 eller x=3[sup]1/3[/sup]. Så det andre punktet på kurven som har en horisontal tangent, er (3[sup]1/3[/sup], 3[sup]2/3[/sup]).
...
...