matematikk.net

f(x) = ln ((3x)/(1-x))

Begrunn at f(x) må ha en invers funksjon, og finn et uttrykk for den inverse funksjonen.

Hvordan gjør jeg dette?
Jeg vet hvordan det skal gjøres liksom, men det blir for komplisert utregning for mine noe frynsete matematikkkunskaper.
Noen som kan vise?

TAKK

Først er det lurt å bestemme definisjonsmengden til f, altså de x som tilfredsstiller ulikheten 3x/(1-x) > 0. Ved å dele teller og nevner med x<>0 får vi at 3/(1/x-1)>0, dvs. at 1/x-1>0. Så 1/x > 1, som betyr at 0 < x < 1. M.a.o er D[sub]f[/sub]=(0,1).

Deriverer vi f(x)=ln(3x/(1-x)) = ln(3x) - ln(1-x) = ln 3 + ln x - ln(1-x), blir resultatet at f´(x) = 1/x + 1/(1-x) > 0 for alle x i D[sub]f[/sub]= (0,1). Ergo er f strengt voksende i hele sin definisjonsmengde, noe som igjen innebærer at f har en invers funksjon. Denne kan vi finne ved å erstatte f(x) med y og deretter løse likningen y=f(x) m.h.p. x. I dette tilfellet blir y=ln((3x)/(1-x)), så 3x/(1-x) = e[sup]y[/sup]. Dermed vil 3x = (1-x)e[sup]y[/sup], dvs. at x(3+e[sup]y[/sup]) = e[sup]y[/sup]. M.a.o. er x= e[sup]y[/sup]/(3+ e[sup]y[/sup]) =
1/(3e[sup]-y[/sup]+1). Altså er f[sup]-1[/sup](x)=1/(3e[sup]-x[/sup]+1).



...