ortogonale vektorer del 2

[gill]

Jeg skal finne projeksjonen av vektor (1,4,4,2) i underrommet V. Jeg laget meg ortogonale vektorer lik:

[tex]u_1=(3,-2,1,2)[/tex] [tex]u_2=(1,2,-3,2)[/tex]

[tex]u_3=(2,1,0,-2)[/tex]

Dette er andre ortogonale vektorer enn dem i fasit. (prikkprouktet mellm dem blir jo 0 så jeg kan ikke se noen feil her)

Jeg brukte at vektoren oppgitt i oppgave 6b er b og p i underrommet V er og q er ortogonalt til p. Slik at b=p+q

Da skriver jeg en tilfeldig vektor i V som:



[tex]Ay[/tex] hvor y er en hvilken som helst kolonnevektor som gjør at Ay er i V. Den ortogonale projeksjonen av b, p, blir Ax. Og vi har at den ortognale vektoren til p blir:

q=b-p som fremdeles er ortogonal når q=p-b=Ax-b

Vi prikker en vektor i V Ay med dette

[tex](Ay)^T(Ax-b)=0[/tex]

fra matriseregler (bevist ved å sette opp generell ganging):

[tex]y^T(A^TAx-A^Tb)=0[/tex]

siden [tex]y[/tex] er en hvilken som helst vektor som gjør at Ay er i V må

[tex]A^TAx-A^Tb=0[/tex]

og

[tex]A^TAx=A^Tb[/tex]

Så da regnet jeg ut dette men fikk feil svar. Deretter regnet jeg med de vektorene som ble oppgitt som ortogonal basis for V i fasit og fikk riktig svar. Vil forskjellige ortogonale basiser gi forskjellige svar?

Det er oppgave 6b her:

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/2 ... 5aug08.pdf

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/2 ... 5aug08.pdf

[Puzzleboy]

To forksjellige basiser for samme underrom V skal gi samme projeksjon av w ned på V, (hvis du ser på et tilfelle der V er et to dimensjonalt underrom av R^3 kan jo denne ses ganske enkelt, uansett hvilke 2 uavhengige vektorer i planet V du bruker vil de altid lage en basis for V og dermed gi samme projeksjon av en vektor i R^3 ned på V).
Uansett når jeg brukte dine vektorer for å finne projeksjonen av w ned på V fikk jeg samme svar som i fasiten så jeg tror kanskje du bare gjorde en liten regnefeil?