matematikk.net

det er oppgave 2b her

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/2 ... 5aug08.pdf

her er fasit

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/2 ... 5aug08.pdf

Jeg prøvde var av parameter som skal fungere uansett hvis den er praktisk å bruke:

jeg fikk [tex]y_1=e^{2x}[/tex] og [tex]y_2=e^{-5x}[/tex] som de og fikk i fasiten.

Deretter kom jeg fram til formlene for var av parametere:

[tex]y_p=uy_1+vy_2[/tex]

er jo utgangspunktet hvor u og v er formler. Man får de to ligningene:


[tex]u*y_1+v*y_2=0[/tex] (denne skal man anta har ikke skjønt hvordan man kan vise det)

og ved å sette inn uttrykkene for y**, y* og y i y**+ay*+y=r

får man

[tex]u*(y_1)*+v*(y_2)*=r[/tex]

og ved løsing av disse får man:

[tex]u=-\int\frac{ry_2}{W}[/tex]

[tex]v=\int\frac{ry_1}{W}[/tex]

jeg fant

[tex]u=\frac{1}{2}x^2[/tex] som passet fint med fasit og

v løste jeg ved delvis integrasjon.

Fant først v*:



[tex]\frac{7xe^{2x}e^{2x}}{-7e^{-3x}}[/tex]

siden jeg fikk W

[tex]W=e^{2x}(-5e^{-5x})-2e^{2x}e^{-5x}=-7e^{-3x}[/tex]

og integrerte v* ved delvis integrajon:

[tex]\frac{d}{dx}(-\frac{1}{7}xe^{7x})=-xe^{7x}-\frac{1}{7}e^{7x}[/tex]

[tex]-xe^{7x}=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{7}xe^{7x})+\frac{1}{7}e^{7x}[/tex]

[tex]\int -xe^{7x} dx=(-\frac{1}{7}xe^{7x})+\frac{1}{49}e^{7x}[/tex]

men det siste leddet

[tex]\frac{1}{49}e^{7x}[/tex]
var ikke med i fasit da svaret mitt ble:

[tex]y_p=uy_1+vy_2[/tex]

[tex]y_p=\frac{1}{2}x^2e^{2x}+((-\frac{1}{7}xe^{7x})+\frac{1}{49}e^{7x})e^{-5x}[/tex]

og når kan man bruke ubestemte koeffisienters metode. Her bruker de det ved [tex]Kxe^{kx}[/tex] som ikke står definert i boka. Kan man bruke det ved

[tex]Kx^2e^{kx}[/tex] og?

En setter u'*y_1+v'*y_2=0 for å gjøre utregningen lettest mulig. Slik jeg har forstått det er det slik at siden du ved bare å sette
[tex]y_p = uy_1+vy_2[/tex]
og substituere inn i den opprinnelige likningen vil du bare få en likning med u,v og deres første og andre deriverte. Siden du bare har en likning med 2 ukjente vil det sannsynligvis være mange u og v som oppfyler likningen, men du trenger jo bare en partikulær løsning. Så det som gjøres er å redusere mulige u og v ved å sette et til krav på dem, dette kan også gjøes på flere forskjellige måter men det viser seg at akkurat dette kravet (fra helt i begynnelse av tekste) er en god måte for å forenkle likningene, siden du dermed blir kvitt u'' og v'' regner jeg med.

Så til ubestemte koeffisienter metode: Den kan brukes på polynomer, e^kx sin(kx) og cos(kx) funksjon og alle produkter av dem. Så ja, det kan også brukes på [tex]Kx^2e^kx[/tex]

Siden ubestemte koeffisienters metode krever informasjon om formen på løsningen mens variasjon av parametre er en generell metode (som vel egentlig altid kan brukes?) og du ikke trenger å vite noe om svaret på forhånd så er jo dette en "bedre" metode, men ubestemte koeff vil nok som oftes brukes når det er mulig da denne pleier være ganske enkel og rask.