matematikk.net

Da er vi på nye oppgaver med derivasjon, ved hjelp av l'Hospitals regel.

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} x^2 ln x[/tex]

Jeg har gjort slik:

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac {lnx}{1/x^2}[/tex]

Så, derivere oppe og nede:

[tex]\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac {1/x}{-2/x^3}[/tex]

Er det riktig måte, og hva gjør jeg så eventuelt videre?

Ja, ser riktig ut så langt

Hva får du når du forkorter den brøken du har fått?

Det er der jeg feiler, ble bare masse x'er og brøker opphøyd i x'er og rot. Hjernen min takler ikke så mange brøker på én gang

[tex]\frac {x^2}{-2}[/tex]
er vel det jeg får på min måte

Det er helt riktig det

Da rekner jeg med det går greit å finne grensen av det uttrykket?

Skulle likt og sagt at det går helt greit, men den gang ei.
Setter jeg 0 inn for x? Og hva er forskjellen om x går mot 0[sup]+[/sup] og 0[sup]-[/sup]?

I dette tilfellet er det ingen forskjell, siden [tex]x^2[/tex] alltid er positiv. I tillegg blir grenseverdien 0, og fortegnet spiller da ingen rolle (du finner den som du sier ved å sette inn 0 for x.)

Men det er viktig å være på vakt. Noen ganger vil grensene fra henholdsvis høyre og venstre side være forskjellige. Da vil ikke grensen eksistere. Et eksempel: [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}[/tex]. Den eneste forskjellen mellom x og |x| er at sistnevnte alltid er positiv. For x > 0 vil x og |x| være akkurat det samme. Så [tex]\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1[/tex]. Men når x < 0 (som er tilfelle når vi nærmer oss 0 fra negativ side) så vil x og |x| ha samme tallverdi, men x vil være negativ og |x| vil være positiv. Da vil [tex]\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1[/tex].