matematikk.net

Noen som har en god forklaring på kompletthetsaksiomet? Vet at definisjonen er: en ikketom mengde S av relle tall som er øvre begrenset har også en minste øvre grense. Ditto for mengder som er nedre begrenset.

Klarer ikke helt se for meg at en mengde som er øvre begrenset også har en minste øvre begrensening. Hvordan er det mulig at en mengde har to øvre begrensninger?

Hvorfor er kompletthetsaksimoet så viktig i beviser. F.eks. beviset av teroemt: En voksende og opptil begrenset følge konvergerer.

Vi kan jo først se på forskjellen mellom øvre grenser og minste øvre grenser. Mengden [tex]\{ 1, 2, \frac 5 2 \}[/tex] har som minste øvre grense [tex]\frac 5 2[/tex], men et eksempel på en øvre grense (som altså ikke er 'minste') er 100. Når du sier at en mengde er øvre begrenset sier du bare at du kan finne deg et tall som er større enn alle tall i den mengden, du sier ikke noe om at dette ikke kan gjøres mindre. En minste øvre grense er nettopp dette - en grense som ikke kan gjøres mindre.

Kompletthetsaksiomet for reelle tall sier noe sånt som at "En ikketom mengde av reelle tall som har en øvre grense har også en reell minste øvre grense". Dette blir interessant når du har mengder der det er lett å finne en øvre grense, men ikke like lett å se om denne kan gjøres mindre eller ikke. For eksempel kan du jo se på mengden av reelle tall x slik at [tex]x^2<2[/tex]. Et eksempel på en øvre grense er 2, for om [tex]x \geq 2[/tex] er [tex]x^2 \geq 4 >2[/tex]. Kompletthetsaksiomet forteller oss da at det må finnes en minste øvre grense, og her ser du kanskje at den er [tex]\sqrt 2[/tex]. Merk at her er ikke den minste øvre grensen (eller supremum som det også heter) med i mengden - litt uformelt betyr dette at tallene i mengden kan komme så nær [tex]\sqrt 2[/tex] de bare vil, men aldri nå helt fram til den. Mengden vår blir altså et åpent intervall [tex](- \sqrt 2, \sqrt 2)[/tex].

Når det gjelder hvorfor kompletthetsaksiomet er viktig i beviser ser du kanskje litt uformelt at minste øvre grenser er ganske nært knyttet til konvergens - tegner du opp en voksende og oppad begrenset følge på tallinjen som en rekke små prikker og tenker på prikkene som en mengde ser du jo at prikkene må 'klumpe' seg veldig opp etterhvert, så det at de konvergerer svarer til at du kan finne deg et punkt som de kan komme veldig nær, men aldri gå forbi, som igjen svarer til minste øvre grenser.



(En annen grunn til at kompletthetsaksiomet er viktig i beviser som kanskje ikke er like interessant for deg nå, men er fint å komme tilbake til litt senere, er at kompletthetsaksiomet fanger forskjellen på reelle og rasjonale tall på en god måte. Kompletthetsaksiomet er nemlig ikke sant for rasjonale tall (det vil si at om du bytter ut reell med rasjonal i formuleringen jeg skrev tidligere har du en usann påstand - som eksempel kan du bare se på mengden av rasjonale tall x slik at [tex]x^2<2[/tex], som ikke har noen rasjonell minste øvre grense), og mange av de teoremene en liker å bruke i analyse er heller ikke sant om vi bare jobber innenfor de rasjonale tallene. Derfor må en om en har lyst til å vise disse interessante teoremene bruke ett eller annet som er sant for reelle tall, men ikke for rasjonale tall, og det er gjerne kompletthetsaksiomet.)

Tusen takk for den gode forklaringen! Deilig å (endlig!) forstå definisjonen av kompletthetsaksiomet!

Gitt mengden [tex]A=\{a\in\mathbb{Q}:a^2<2\}[/tex], så eksisterer ikke, som Karl_Erik sier, den minste, øvre grensen [tex]\sqrt{2}[/tex] i [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Men hvorfor kan man ikke kalle [tex]2[/tex] den minste, øvre grensen? Det er en øvre grense, og så lenge man holder seg til [tex]\mathbb{Q}[/tex] kan den ikke gjøres mindre hvis man fortsatt vil det skal være en grense.

Hva har jeg misforstått? På forhånd takk for tilbakemeldinger.

Blander du de rasjonale tallene med heltallene?

Det gjør jeg visst … Ja, ja, nå forstod jeg det i hvert fall.

Takk for hjelpen.

Husk at mengden består av de a slik at a^2 < 2, og ikke de a slik at a < 2. I så fall ville 2 vært den minste øvre grense både i de reelle og de rasjonale tallene.