Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven... Den sak løses i x, y form, der x og y er reelle..
Z^2=-9+12i
svaret skal være [rot][/rot]3(1+2i)
På forhånd takk![rot][/rot]
Trekke røtter av kompleksetall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Skriv -9 + 12i på forma r*e[sup]øi[/sup], trekk kvadratrota av det og før tilbake til forma x + yi.
-
knut1
finn vektoren : lengde og vinkel.
Rota til vektoren er vel rota av lengden og halve vinkelen. ..(eller husker jeg noe feil?)
Rota til vektoren er vel rota av lengden og halve vinkelen. ..(eller husker jeg noe feil?)
-
Gjest
Du må hugsa at e[sup]øi[/sup] = e[sup]øi + 2[pi][/pi]k[/sup] for alle k, så det finst to røter her:
[rot][/rot]z * e[sup]øi/2[/sup] = [rot][/rot]z * [cos(ø/2) + i sin(ø/2)],
som i vårt tilfelle er [rot][/rot]15 * [a + bi]
og
[rot][/rot]z * e[sup]øi/2 + [pi][/pi][/sup] = [rot][/rot]z * [cos(ø/2 + [pi][/pi]) + i sin(ø/2 [pi][/pi])] = [rot][/rot]15 * [-a - bi]
Me må finna a og b, og nyttar addisjonsformlane til sinus og cosinus:
-3/5 = cos ø = a^2 - b^2 og 4/5 = sin ø = 2ab
b = 2/(5a)
a^2 - 4/(25a^2) = -3/5.
a^4 + 3a^2/5 - 4/25 = 0
a^2 = 1/5 eller -4/5 > 0, så a^2 = 1/5 og a = 1/[rot][/rot]
Dette gjev b = 2/[rot][/rot]5 og dei to røtene er
z' = [rot][/rot]3 (1 + 2i)
og
z'' = -z' = -[rot][/rot]3 (1 + 2i)
[rot][/rot]z * e[sup]øi/2[/sup] = [rot][/rot]z * [cos(ø/2) + i sin(ø/2)],
som i vårt tilfelle er [rot][/rot]15 * [a + bi]
og
[rot][/rot]z * e[sup]øi/2 + [pi][/pi][/sup] = [rot][/rot]z * [cos(ø/2 + [pi][/pi]) + i sin(ø/2 [pi][/pi])] = [rot][/rot]15 * [-a - bi]
Me må finna a og b, og nyttar addisjonsformlane til sinus og cosinus:
-3/5 = cos ø = a^2 - b^2 og 4/5 = sin ø = 2ab
b = 2/(5a)
a^2 - 4/(25a^2) = -3/5.
a^4 + 3a^2/5 - 4/25 = 0
a^2 = 1/5 eller -4/5 > 0, så a^2 = 1/5 og a = 1/[rot][/rot]
Dette gjev b = 2/[rot][/rot]5 og dei to røtene er
z' = [rot][/rot]3 (1 + 2i)
og
z'' = -z' = -[rot][/rot]3 (1 + 2i)
-
Gjest
Hei..
Kan du forklare:
"Me må finna a og b, og nyttar addisjonsformlane til sinus og cosinus: " !!Hva mener du? kjenner ikke igjen dette..!!
-3/5 = cos ø = a^2 - b^2 og 4/5 = sin ø = 2ab
!!Dette må du eksplisere!
b = 2/(5a)
!!OK!
a^2 - 4/(25a^2) = -3/5.
!!OK!
a^4 + 3a^2/5 - 4/25 = 0
!!OK!
a^2 = 1/5 eller -4/5 > 0, så a^2 = 1/5 og a = 1/√
!!Ekspliser!
Dette gjev b = 2/√5 og dei to røtene er
!!Ekspliser!
z' = √3 (1 + 2i)
og
z'' = -z' = -√3 (1 + 2i)
Kan du forklare:
"Me må finna a og b, og nyttar addisjonsformlane til sinus og cosinus: " !!Hva mener du? kjenner ikke igjen dette..!!
-3/5 = cos ø = a^2 - b^2 og 4/5 = sin ø = 2ab
!!Dette må du eksplisere!
b = 2/(5a)
!!OK!
a^2 - 4/(25a^2) = -3/5.
!!OK!
a^4 + 3a^2/5 - 4/25 = 0
!!OK!
a^2 = 1/5 eller -4/5 > 0, så a^2 = 1/5 og a = 1/√
!!Ekspliser!
Dette gjev b = 2/√5 og dei to røtene er
!!Ekspliser!
z' = √3 (1 + 2i)
og
z'' = -z' = -√3 (1 + 2i)
-
Gjest
1)Kva er det du ikkje kjenner igjen? Om det er metoden, så er det ikkje viktig - det viktige er at me kjem fram til svaret utan uhaldbare overgangar. Elles:
a = cos (ø/2) og b = sin (ø/2). For å finna kvadratrøtene, så må me finna desse to tala.
Addisjonsformlane er:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Eg nyttar her x = y = ø/2, og det neste trinnet følgjer.
2) Me nyttar abc-formelen for andregradslikningar for å finna to kandidatar til a^2 [andregradslikninga er x^2 + 3/5*x - 4/25, der x = a^2]. a^2 er naturlegvis positiv, så berre den eine kandidaten er mogleg: a = 1/[rot][/rot]5.
Av b = 2/(5a) følgjer no b = 2/[rot][/rot]5.
a = cos (ø/2) og b = sin (ø/2). For å finna kvadratrøtene, så må me finna desse to tala.
Addisjonsformlane er:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Eg nyttar her x = y = ø/2, og det neste trinnet følgjer.
2) Me nyttar abc-formelen for andregradslikningar for å finna to kandidatar til a^2 [andregradslikninga er x^2 + 3/5*x - 4/25, der x = a^2]. a^2 er naturlegvis positiv, så berre den eine kandidaten er mogleg: a = 1/[rot][/rot]5.
Av b = 2/(5a) følgjer no b = 2/[rot][/rot]5.