matematikk.net

Jeg får ikke helt til å linearisere likningssettet OM likevektspunktet mitt

[tex]\frac{dx}{dt}=-xy+ay[/tex]
[tex]\frac{dy}{dt}=xy -ay[/tex]

om (a, 1-a).

Determinanten til systemet er 0, hva gjør jeg da?

Dersom det er selve løsningen du vil finne kan du summere ligningene slik at du får [tex]\frac{d(x+y)}{dt}=0[/tex]. Altså er [tex]x+y=k[/tex] der k er en konstant. Ved substitusjonen y=k-x inn i den første ligningen fås en separable diff.ligningen som kan løses ved integrasjon.

Situasjonen er at jeg har et system av diff.likninger, ikke-lineær og homogent.
Systemets likevektspunkt er [tex](x_0,y_0)=(a,1-a)[/tex] som oppgitt.

Jeg ønsker å linearisere rundt dette punktet for å undersøke stabiliteten til løsningen [tex](x_0,y_0)[/tex]. Gjerne karakterisere det også.

OK, bruker du taylorutviklingen for to variable til første orden om likevektspunktet [tex](x_0,y_0)[/tex] fås (med f(x,y)=-xy+ay )

[tex]f(x,y)=f(x_0,y_0) +\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)[/tex].

På samme måte med [tex]g(x,y)=xy-ay[/tex].

Taylorutvikler jeg får jeg at

[tex]\frac{d\tilde{x}}{dt}=-\tilde{x}(1-a)[/tex]
[tex]\frac{d\tilde{y}}{dt}=\tilde{x}(1-a)[/tex]

Dette gir at egenverdiene er (a-1) og 0.
Vet at a>0.

Men hvilket likevektspunkt er det og hvor stabilt er lineariseringen rundt det?